[2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．

admin2019-06-09 80

问题 [2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．

选项

答案证一因待证等式可改写为[f′(x)+f(x)一x]′∣_x=ξ=0，故作辅助函数 F(x)=f′(x)+f(x)一x，因F(1)=f′(1)+f(1)一1=f′(1)， F(一1)=f′(一1)+f(一1)+1=f′(一1)一f(1)+1=f′(一1)=f′(1) (因f′(x)为偶函数)．显然F(x)在[－1，1]上可导，满足罗尔定理的条件，由该定理知，存在η∈(一l，1)使 F′(η)=0，即[f′(x)+f(x)一x]′∣_x=ξ=f″(η)+f′(η)一1=0．证二待证等式可改写为[f′(η)一1]′+f′(η)一l=0，两边乘以e^η，则 e^η[f′(η)一1]′+e^η[f′(η)一1]={e^η[f′(η)一1]}′=0．于是令F(x)=e^x[f′(x)一1]．由(I)知存在ξ∈(0，1)使f′(ξ)=1，又因f′(x)为偶函数，故f′(一ξ)=f′(ξ)=1，则F(ξ)=e^ξ[f′(ξ)一1]=0， F(一ξ)=e^-ξ[f′(一ξ)一1]=e^-ξ[f′(ξ)一1]=0．在区间[一ξ，ξ]上对F(x)使用罗尔定理，得到存在η∈(－ξ，ξ)[*](一1，1)使得F′(η)=0．由F′(x)=e^x[f′(x)一1]+e^xf″(x)得到F′(η)=e^η[f′(η)一1]+e^ηf″(η)=0，即f″(η)+ f′(η)=1．

解析

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考研数学二

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[2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．

考研数学二

一容器的内侧是由图中(如图1—3—6)曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y≥)与x2+y2=1(y≤)连接而成。求容器的容积；

计算二重积分x(y+1)dσ，其中积分区域D是由y轴与曲线所围成。

设D是由曲线y=，直线x=a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy=10Vx，求a的值。

椭球面S1是椭圆=1绕x轴旋转一周而成，圆锥面S2是过点(4，0)且与椭圆=1相切的直线绕x轴旋转一周而成。求S1与S2之间的立体体积。

曲线y=(x一5)x的拐点坐标为_________。

设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分xydσ=________。

设曲线y=lnx与y=k相切，则公共切线为_______．

设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。(Ⅰ)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。(Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞－2

已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l。若点P的横坐标对时间的变化率为常数v0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是_______。

设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且其反函数存在为g(x)．若∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex—ex+1，则当一∞＜x＜+∞时f(x)=____________．

关于公路客运站停车场设计原则．下列哪项是不正确的?[2001年第59题]

环境保护税的税目中，由省、自治区、直辖市人民政府统筹考虑后在规定的幅度内按规定程序确定具体适用税额的项目有()。

昆体良的《雄辩术原理》被称为是()。

甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游40米，乙每分钟游50米．每人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返．如果不计转向的时间，则从出发开始计算的150秒内两人共相遇了()次．

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为()

下列关于RPR技术的描述中，错误的是

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曲线y=(x一5)x的拐点坐标为_________。

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设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且其反函数存在为g(x)．若∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex—ex+1，则当一∞＜x＜+∞时f(x)=____________．

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