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[2013年] 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: 存在η∈(一1,1),使得f″(η)+f′(η)=1.
[2013年] 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: 存在η∈(一1,1),使得f″(η)+f′(η)=1.
admin
2019-06-09
55
问题
[2013年] 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:
存在η∈(一1,1),使得f″(η)+f′(η)=1.
选项
答案
证一 因待证等式可改写为[f′(x)+f(x)一x]′∣
x=ξ
=0,故作辅助函数 F(x)=f′(x)+f(x)一x,因F(1)=f′(1)+f(1)一1=f′(1), F(一1)=f′(一1)+f(一1)+1=f′(一1)一f(1)+1=f′(一1)=f′(1) (因f′(x)为偶函数). 显然F(x)在[-1,1]上可导,满足罗尔定理的条件,由该定理知,存在η∈(一l,1)使 F′(η)=0,即[f′(x)+f(x)一x]′∣
x=ξ
=f″(η)+f′(η)一1=0. 证二 待证等式可改写为[f′(η)一1]′+f′(η)一l=0,两边乘以e
η
,则 e
η
[f′(η)一1]′+e
η
[f′(η)一1]={e
η
[f′(η)一1]}′=0. 于是令F(x)=e
x
[f′(x)一1].由(I)知存在ξ∈(0,1)使f′(ξ)=1,又因f′(x)为偶函数,故f′(一ξ)=f′(ξ)=1,则F(ξ)=e
ξ
[f′(ξ)一1]=0, F(一ξ)=e
-ξ
[f′(一ξ)一1]=e
-ξ
[f′(ξ)一1]=0. 在区间[一ξ,ξ]上对F(x)使用罗尔定理,得到存在η∈(-ξ,ξ)[*](一1,1)使得F′(η)=0. 由F′(x)=e
x
[f′(x)一1]+e
x
f″(x)得到F′(η)=e
η
[f′(η)一1]+e
η
f″(η)=0,即f″(η)+ f′(η)=1.
解析
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考研数学二
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