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  3. [2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： 存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．

[2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： 存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．

admin2019-06-09  48
问题 [2013年]  设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．
选项
答案证一 因待证等式可改写为[f′(x)+f(x)一x]′∣x=ξ=0，故作辅助函数 F(x)=f′(x)+f(x)一x，因F(1)=f′(1)+f(1)一1=f′(1)， F(一1)=f′(一1)+f(一1)+1=f′(一1)一f(1)+1=f′(一1)=f′(1) (因f′(x)为偶函数)． 显然F(x)在[－1，1]上可导，满足罗尔定理的条件，由该定理知，存在η∈(一l，1)使 F′(η)=0，即[f′(x)+f(x)一x]′∣x=ξ=f″(η)+f′(η)一1=0． 证二 待证等式可改写为[f′(η)一1]′+f′(η)一l=0，两边乘以eη，则 eη[f′(η)一1]′+eη[f′(η)一1]={eη[f′(η)一1]}′=0． 于是令F(x)=ex[f′(x)一1]．由(I)知存在ξ∈(0，1)使f′(ξ)=1，又因f′(x)为偶函数，故f′(一ξ)=f′(ξ)=1，则F(ξ)=eξ[f′(ξ)一1]=0， F(一ξ)=e-ξ[f′(一ξ)一1]=e-ξ[f′(ξ)一1]=0． 在区间[一ξ，ξ]上对F(x)使用罗尔定理，得到存在η∈(－ξ，ξ)[*](一1，1)使得F′(η)=0． 由F′(x)=ex[f′(x)一1]+exf″(x)得到F′(η)=eη[f′(η)一1]+eηf″(η)=0，即f″(η)+ f′(η)=1．
解析
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考研数学二

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