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设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任一点(x,y)处的曲率为且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程.并求函数y=y(x)的极值.
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任一点(x,y)处的曲率为且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程.并求函数y=y(x)的极值.
admin
2017-04-24
51
问题
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任一点(x,y)处的曲率为
且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程.并求函数y=y(x)的极值.
选项
答案
因曲线向上凸,则y"<0;由题设有 [*] 化简,即为 y"=一(1+ y
’2
) 曲线经过点(0,1),故y(0)=1,又因为在该点的切线方程为y=x+1,即切线斜率为1,于是y’(0)=1.现在归结为求 [*] 的特解. 令y’=P,y"=P’,于是得P’=一(1+P
2
) 分离变量解得 arctanP=C
1
一x,以P(0)=1代入,得 [*] 以y(0)=1代入,得C
2
=1+[*] 故所求曲线方程为 [*] 取其含有x=0在内的连续的一支为 [*] 当x→[*]→0,y→一∞,故此函数无极小值.当x=[*]时,y为极大,极大值y=1+[*]
解析
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考研数学二
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