2. 考研
  3. 设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(x，y)处的曲率为且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程．并求函数y=y(x)的极值．

设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(x，y)处的曲率为且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程．并求函数y=y(x)的极值．

admin2017-04-24  35
问题 设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(x，y)处的曲率为且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程．并求函数y=y(x)的极值．
选项
答案因曲线向上凸，则y"＜0；由题设有 [*] 化简，即为 y"=一(1+ y’2) 曲线经过点(0，1)，故y(0)=1，又因为在该点的切线方程为y=x+1，即切线斜率为1，于是y’(0)=1．现在归结为求 [*] 的特解． 令y’=P，y"=P’，于是得P’=一(1+P2) 分离变量解得 arctanP=C1一x，以P(0)=1代入，得 [*] 以y(0)=1代入，得C2=1+[*] 故所求曲线方程为 [*] 取其含有x=0在内的连续的一支为 [*] 当x→[*]→0，y→一∞，故此函数无极小值．当x=[*]时，y为极大，极大值y=1+[*]
解析
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考研数学二

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