设A是3阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量．证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．

admin2018-09-25 75

问题设A是3阶实矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同的特征值，ξ₁，ξ₂，ξ₃是三个对应的特征向量．
证明：当λ₂λ₃≠0时，向量组ξ₁，A(ξ₁+ξ₂)，A²(ξ₁+ξ₂+ξ₃)线性无关．

选项

答案因 [ξ₁，A(ξ₁+ξ₂)，A²(ξ₁+ξ₂+ξ₃)] =[ξ₁，λ₁ξ₁+λ₂ξ₂，λ₁²ξ₁+λ₂²ξ₂+λ₃²ξ₃] =[ξ₁，ξ₂，ξ₃] [*] 又λ₁≠λ₂≠λ₃，故ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，由上式知 ξ₁，A(ξ₁+ξ₂)，A²(ξ₁+ξ₂+ξ₃)线性无关<=> [*] =λ₂λ₃²≠0，即λ₂λ₃≠0．

解析

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考研数学一

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