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  3. 设函数f(x)满足关系式f"(x)＋[f’(x)]2＝x且f’(0)＝0，则

设函数f(x)满足关系式f"(x)＋[f’(x)]2＝x且f’(0)＝0，则

admin2014-01-26  46
问题 设函数f(x)满足关系式f"(x)＋[f’(x)]2＝x且f’(0)＝0，则
选项 A、f(0)是f(x)的极大值．
B、f(0)是f(x)的极小值．
C、点(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点．
D、f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y一＝f(x)的拐点．
答案C
解析 [分析]  由题设f’(0)＝0，是否为极值点可通过f"(0)的符号来定，但易知f"(0)＝0，因此可进一步通过f"(0)的符号确定是否为拐点．若还有f"(0)＝0，则要通过更高阶导数的符号才能进行判断其为极值点或拐点．
    [详解]  因为f’(0)＝0，由原关系式f"(x)＋[f’(x)]2＝x知，f"(0)＝0，因此点(0，f(0))可能为拐点．由f"(x)＝－[f(x)]2＋x知f(x)的三阶导数存在，且
    f’’’(x)＝－2f’(x)f"(x)＋1，
    可见f’’’(0)＝1．因此在x＝0的左侧，f"(x)＜0，对应曲线弧是下凹(上凸)的；而在x＝0的右侧，f"(x)＞0，对应曲线弧是上凹(下凸)的，故点(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点．
    [评注]  一般地，若f(x)在点x0处满足：f’(x0)＝0，…，f(k－1)(x0)＝0，fk(x0)≠0，
则当k(k＞2)为偶数时，x0是函数．f(x)的极值点；当k为奇数时，点(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的拐点．
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考研数学二

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