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  3. [2009年] 设 对上题中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

[2009年] 设 对上题中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

admin2021-01-25  52
问题 [2009年]  设
对上题中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
选项
答案证一 因ξ1，ξ2，ξ3为三维向量，可用行列式判别它们的线性相关性． [*] 故ξ1，ξ2，ξ3线性无关． 证二 注意到Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1，自然会问Aξ1等于什么，易求得Aξ1=0．设 l1ξ1+l2ξ2+l3ξ3=0． ① 下面反复利用线性无关的向量ξ1≠0，证明l1=l2=l3=0．在式①两端左乘A，得到 l1Aξ1+l2Aξ2+l3Aξ3=l1·0+l2ξ1+l3Aξ3=l2ξ1+l3Aξ3=0． 再在上面最后一个等式两端左乘A，得到 l2Aξ1+l3A2ξ3=l3ξ1=0． 因ξ1≠0，故l3=0，代入式①得l1ξ1+l2ξ2=0，则 l1Aξ1+l2Aξ2=l2Aξ2=l2ξ1=0． 因ξ1≠0，故l2=0．再将l2=l3=0代入①得l1ξ1=0，因ξ1≠0，故l1=0．因此ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
解析
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考研数学三

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