[2009年] 设对上题中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

admin2021-01-25 45

问题 [2009年] 设

对上题中的任意向量ξ₂，ξ₃，证明ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．

选项

答案证一因ξ₁，ξ₂，ξ₃为三维向量，可用行列式判别它们的线性相关性． [*] 故ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．证二注意到Aξ₂=ξ₁，A²ξ₃=ξ₁，自然会问Aξ₁等于什么，易求得Aξ₁=0．设 l₁ξ₁+l₂ξ₂+l₃ξ₃=0． ① 下面反复利用线性无关的向量ξ₁≠0，证明l₁=l₂=l₃=0．在式①两端左乘A，得到 l₁Aξ₁+l₂Aξ₂+l₃Aξ₃=l₁·0+l₂ξ₁+l₃Aξ₃=l₂ξ₁+l₃Aξ₃=0．再在上面最后一个等式两端左乘A，得到 l₂Aξ₁+l₃A²ξ₃=l₃ξ₁=0．因ξ₁≠0，故l₃=0，代入式①得l₁ξ₁+l₂ξ₂=0，则 l₁Aξ₁+l₂Aξ₂=l₂Aξ₂=l₂ξ₁=0．因ξ₁≠0，故l₂=0．再将l₂=l₃=0代入①得l₁ξ₁=0，因ξ₁≠0，故l₁=0．因此ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．

解析

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考研数学三

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