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[2009年] 设 对上题中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.
[2009年] 设 对上题中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.
admin
2021-01-25
58
问题
[2009年] 设
对上题中的任意向量ξ
2
,ξ
3
,证明ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关.
选项
答案
证一 因ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
为三维向量,可用行列式判别它们的线性相关性. [*] 故ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关. 证二 注意到Aξ
2
=ξ
1
,A
2
ξ
3
=ξ
1
,自然会问Aξ
1
等于什么,易求得Aξ
1
=0.设 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+l
3
ξ
3
=0. ① 下面反复利用线性无关的向量ξ
1
≠0,证明l
1
=l
2
=l
3
=0.在式①两端左乘A,得到 l
1
Aξ
1
+l
2
Aξ
2
+l
3
Aξ
3
=l
1
·0+l
2
ξ
1
+l
3
Aξ
3
=l
2
ξ
1
+l
3
Aξ
3
=0. 再在上面最后一个等式两端左乘A,得到 l
2
Aξ
1
+l
3
A
2
ξ
3
=l
3
ξ
1
=0. 因ξ
1
≠0,故l
3
=0,代入式①得l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
=0,则 l
1
Aξ
1
+l
2
Aξ
2
=l
2
Aξ
2
=l
2
ξ
1
=0. 因ξ
1
≠0,故l
2
=0.再将l
2
=l
3
=0代入①得l
1
ξ
1
=0,因ξ
1
≠0,故l
1
=0.因此ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Hwx4777K
0
考研数学三
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