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(1999年)假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布。记 (Ⅰ)求U和V的联合分布; (Ⅱ)求U和V的相关系数r。
(1999年)假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布。记 (Ⅰ)求U和V的联合分布; (Ⅱ)求U和V的相关系数r。
admin
2021-01-25
76
问题
(1999年)假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布。记
(Ⅰ)求U和V的联合分布;
(Ⅱ)求U和V的相关系数r。
选项
答案
(Ⅰ)由题知U和V均服从0-1分布, P{U=0}=P{X≤Y},P{U=1}=P{X>Y}, P{V=0}=P{X≤2Y},P{V=1}=P{X>2Y}。 二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布(根据二维均匀分布的性质,各部分所占的概率是其面积与总面积之比)。 所以,如图所示。 [*] P{X≤Y}=S
D
1
/S
总
=[*] P{X>2Y}=S
D
3
/S
总
=[*] P{Y<X≤2Y}=1-P{X≤Y)-P{X>2Y}=[*] (U,V)有四个可能值:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。 P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}=[*] P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y)=[*]=0, P{U=1,V=0)=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y<X≤2Y}=[*] P{U=1,V=1)=P{X>Y,X>2Y)=P{X>2Y}=[*] 因此可得U和V的联合分布为 [*] (Ⅱ)由第(Ⅰ)问可得U和V的分布律分别为 [*] P{UV=0}=P{U=0,V=0}+P{U=1,V=0)+P{U=0,V=1} [*] 因此可得UV的分布律为 [*] 所以 D(U)=E(U
2
)-EE(U)]
2
=[*] D(V=E(V
2
)-[E(V)]
2
=[*] 故 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/v5x4777K
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考研数学三
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