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设f(χ)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且=0,又f(2)=2f(χ)dχ,证明:存在ξ∈(0,2),使得f′(ξ)+f〞(ξ)=0.
设f(χ)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且=0,又f(2)=2f(χ)dχ,证明:存在ξ∈(0,2),使得f′(ξ)+f〞(ξ)=0.
admin
2019-01-13
83
问题
设f(χ)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且
=0,又f(2)=2
f(χ)dχ,证明:存在ξ∈(0,2),使得f′(ξ)+f〞(ξ)=0.
选项
答案
由[*]=0,得f(1)=-1, 又[*] 所以f′(1)=0 由积分中值定理得f(2)=2[*]f(χ)dχ=f(c),其中c∈[1,[*]] 由罗尔定理,存在χ
0
∈(c,2)[*](1,2),使得f′(χ
0
)=0. 令φ(χ)=e
χ
f′(χ),则φ(1)=φ(χ
0
)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(1,χ
0
)[*](0,2),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(χ)=e
χ
[f′(χ)+f〞(χ)]且e
χ
≠0,所以f′(ξ)+f〞(ξ)=0.
解析
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考研数学二
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