设f(χ)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且=0,又f(2)=2f(χ)dχ,证明:存在ξ∈(0,2),使得f′(ξ)+f〞(ξ)=0.

admin2019-01-13  37

问题 设f(χ)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且=0,又f(2)=2f(χ)dχ,证明:存在ξ∈(0,2),使得f′(ξ)+f〞(ξ)=0.

选项

答案由[*]=0,得f(1)=-1, 又[*] 所以f′(1)=0 由积分中值定理得f(2)=2[*]f(χ)dχ=f(c),其中c∈[1,[*]] 由罗尔定理,存在χ0∈(c,2)[*](1,2),使得f′(χ0)=0. 令φ(χ)=eχf′(χ),则φ(1)=φ(χ0)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(1,χ0)[*](0,2),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(χ)=eχ[f′(χ)+f〞(χ)]且eχ≠0,所以f′(ξ)+f〞(ξ)=0.

解析
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