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设f(0)=0,则f(x)在点x=0处可导的充要条件为( ).
设f(0)=0,则f(x)在点x=0处可导的充要条件为( ).
admin
2019-08-27
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问题
设f(0)=0,则f(x)在点x=0处可导的充要条件为( ).
选项
A、
B、
C、
D、
答案
B
解析
【思路探索】利用排除法或导数定义可得结论.
解法一:排除法.
对于(A)选项,取f(x)=|x|,则
极限存在,但f(x)=|x|在x=0处不可导,故排除(A);
对于(C)选项,仍取f(x)=|x|,有
极限存在,但f(x)在x=0处不可导,故排除(C)项;
对于(D)选项,取f(x)=
极限存在,但f(x)在x=0不连续,从而f’(0)也不存在,故排除(D)项.
故应选(B).
解法二:利用导数定义,直接考查(B)选项,
故应选(B).
【错例分析】有的考生选择(D),显然不对.这是因为若f(x)在x=0处可导,可得
即若f(x)在x=0可导,一定有(D)选项成立;反之,若(D)选项成立,则必存在A,使
由极限性质得
于是
但根据该结论得不出f(x)在x=0可导的结果,综上可知,(D)选项中所给条件仅是f(x)在x=0可导的必要而非充分的条件.如解法一中给出的
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考研数学一
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