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  3. 设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值_______，且其重数至少是_______．

设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值_______，且其重数至少是_______．

admin2019-01-12  44
问题 设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值_______，且其重数至少是_______．
选项
答案λ=0；n－r(A)
解析 r(A)＜|A|=0λ=0必是A的特征值．
由r(A)＜nAx=0有非0解．设η1，η2，…，ηn－r(A)是Ax－0的基础解系，则Aηj=0=0ηj，即ηj(j=1，2，…，n－r(A))是λ=0的特征向量．
因此λ=0有n－r(A)个线性无关的特征向量．从而λ=0至少是矩阵A的n－r(A)重特征值．
注意：k重特征值至多有k个线性无关的特征向量．
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考研数学一

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