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  3. 设A是m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n,证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n－r+1个。

设A是m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n,证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n－r+1个。

admin2021-11-25  25
问题 设A是m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n,证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n－r+1个。
选项
答案因为r(A)=r＜n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，设为ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn-r。 设η0为方程组AX=b的一个特解， 令β0=η0,β1=ξ1+η0,β2=ξ2+η0，β3=ξ3+η0，...，βn-r=ξn-r+η0，显然β0，β1，β2，...，βn-r为方程组AX=b的一组解。 令k0β0+k1β1+k2β2+...+kn-rβn-r=0,即 （k0+k1+...+kn-r)η0+k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r=0 上式两边左乘A得(k0+k1+...+kn-r)b=0 因为b为非零列向量，所以k0+k1+...+kn-r=0，于是 k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r=0 注意到ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn-r线性无关，所以k1=k2=...=kn-r=0 故β0，β1，β2，...，βn-r线性无关，即方程组AX=b存在由n－r+1个线性无关的解向量构成的向量组。 设β1，β2，...，βn-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解， 令γ1=β2－β1,γ2=β3－β1,...,γn-r+1=βn-r+2－β1 根据定义，易证γ1，γ2，...，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，...，γn-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n－r+1个线性无关的解，矛盾。 所以AX=b的任意n－r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n－r+1个。
解析
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考研数学二

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