2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，｜f"(x)｜≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤M(b-a)．

设f(x)在[a，b]上二阶可导，｜f"(x)｜≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤M(b-a)．

admin2021-10-18  59
问题 设f(x)在[a，b]上二阶可导，｜f"(x)｜≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤M(b-a)．
选项
答案由题意，存在c∈(a，b)，使得f(c)为最小值．从而f’(c)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ1∈(c，b)，使得f’(c)-f’(a)=f"(ξ1)(c-a)，f’(b)-f’(c)=f"(ξ2)(b-c)。于是｜f’(a)｜=｜f"(ξ1)｜(c-a)≤M(c-a)，｜f’(b)｜=｜f"(ξ2)｜(b-c)≤M(b-c)，故｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤M(b-a)．
解析
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考研数学二

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