已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量． (1)试确定a，b的值及特征向量ξ所对应的特征值； (2)问A能否相似于对角阵?说明理由．

admin2018-08-02 54

问题已知ξ=

是矩阵A=

的一个特征向量．
(1)试确定a，b的值及特征向量ξ所对应的特征值；
(2)问A能否相似于对角阵?说明理由．

选项

答案(1)由(λE-A)ξ=[*]=0．即[*]，解得a=-3，b=0，λ=-1． (2)A=[*]的特征值为λ₁=λ₂=λ₃=-1，但矩阵-E-A=[*]的秩为2，从而与λ=-1对应的线性无关特征向量(即A的线性无关特征向量)只有1个，故A不能相似于对角阵．或用反证法：若A与对角阵D相似，则D的主对线元素就是A的全部特征值，即D=-E，于是若存在可逆矩阵P，使P^-1AP=D=-E，则A=P(-E)P^-1=-E，这与A≠-E发生矛盾．

解析

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考研数学二

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