2. 考研
  3. 设f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且f″(x)≠0.证明： (1)对(-1，1)内任一点x≠0，存在唯一的0(x)∈(0，1).使得 f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]；

设f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且f″(x)≠0.证明： (1)对(-1，1)内任一点x≠0，存在唯一的0(x)∈(0，1).使得 f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]；

admin2022-08-19  72
问题 设f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且f″(x)≠0.证明：
(1)对(-1，1)内任一点x≠0，存在唯一的0(x)∈(0，1).使得
f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]；
选项
答案(1)对任意x∈(-1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=(0)+xf′[θ(x)x]，其中0＜0(x)＜1. 因为f″(x)∈C(-1，1)且f″(x)≠0，所以f″(x)在(-1，1)内保号，不妨设f″(x)＞0， 则f′(x)在(-1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的. (2)由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f′(0)x+[f″(ξ)/2!]x2，其中ξ介于0与x之间， 而f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]，所以有 f′[θ(x)x]=f′(0)+[f″(ξ)/2!][*]{f′[xθ(x)]-f′(0)}/xθ(x)·θ(x)=f″(ξ)/2!， 令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得[*]
解析
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考研数学三

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