2. 考研
  3. 设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n,考虑以下命题： ①AAT的行列式｜AA T｜≠0； ②AAT必与n阶单位矩阵等价； ③AAT必与一个对角矩阵相似； ④AAT必与n阶单位矩阵合同， 其中正确的命题数为

设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n,考虑以下命题： ①AAT的行列式｜AA T｜≠0； ②AAT必与n阶单位矩阵等价； ③AAT必与一个对角矩阵相似； ④AAT必与n阶单位矩阵合同， 其中正确的命题数为

admin2020-03-15  64
问题 设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n,考虑以下命题：
①AAT的行列式｜AA T｜≠0；
②AAT必与n阶单位矩阵等价；
③AAT必与一个对角矩阵相似；
④AAT必与n阶单位矩阵合同，
其中正确的命题数为
选项 A、1．
B、2．
C、3．
D、4．
答案D
解析 显然AAT为n阶矩阵．由条件可知r(AAT)=r(A)=n，故①，②正确．
由于AAT是实对称矩阵，所以必可相似对角化，从而③正确．
因AAT的秩为n，故二次型xTAATx的秩为n，从而
xTAATx=(ATx)T(ATx)＞0，即xTAATx是正定二次型，故AAT与n阶单位矩阵合同，④也正确．
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考研数学三

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