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设环境保持恒定温度20℃,有一个热物体在10秒内从温度为100℃降到60℃,问此物体从100℃降到25℃需要多少时间?
设环境保持恒定温度20℃,有一个热物体在10秒内从温度为100℃降到60℃,问此物体从100℃降到25℃需要多少时间?
admin
2019-01-13
59
问题
设环境保持恒定温度20℃,有一个热物体在10秒内从温度为100℃降到60℃,问此物体从100℃降到25℃需要多少时间?
选项
答案
物体冷却速度与该物体和环境温度之差成正比,设物体在时刻t的温度为u(t),则有du/dt=-k[u(t)-T] 其中T为环境温度(假定环境温度恒定不变),k>0为比例常数,在本题中T=20℃,将上述方程变形为 du/dt+ku=kT 这是一阶线性常微分方程,通解为 u(t)=T+ce
-kt
=20+ce
-kt
初值条件为u(0)=100,所以c=80,于是u(t)=20+80 e
-kt
物体在10秒内从温度为100℃降到60℃,即 u(10)=20+80e
-10k
=60 由此解得k=1/10ln2,从而u(t)=20+80×2
-0.1t
令u(t)=25,即2
-0.1t
=1/16,由此解得t=40,即物体从100℃降到25℃需要40秒.
解析
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考研数学二
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