2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f′(1)=0，f(2)=．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′″(ξ)=2．

设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f′(1)=0，f(2)=．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′″(ξ)=2．

admin2019-09-27  45
问题 设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f′(1)=0，f(2)=．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′″(ξ)=2．
选项
答案 先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P′(1)=f′(1)=0，P(2)=f(2)=[*]，P(1)=f(1)． 则P(x)=[*]+1， 令g(x)=f(x)－P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g′(c1)=g′(1)=g′(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g″(d1)=g″(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)[*](0，2)，使得g′″(ξ)=0，而g′″(x)=f′″(x)－2，所以f′″(ξ)=2．
解析
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考研数学一

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