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设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f′(1)=0,f(2)=.证明:存在ξ∈(0,2),使得f′″(ξ)=2.
设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f′(1)=0,f(2)=.证明:存在ξ∈(0,2),使得f′″(ξ)=2.
admin
2019-09-27
48
问题
设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f′(1)=0,f(2)=
.证明:存在ξ∈(0,2),使得f′″(ξ)=2.
选项
答案
先作一个函数P(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d,使得 P(0)=f(0)=1,P′(1)=f′(1)=0,P(2)=f(2)=[*],P(1)=f(1). 则P(x)=[*]+1, 令g(x)=f(x)-P(x),则g(x)在[0,2]上三阶可导,且g(0)=g(1)=g(2)=0,所以存在c
1
∈(0,1),c
2
∈(1,2),使得g′(c
1
)=g′(1)=g′(c
2
)=0,又存在d
1
∈(c
1
,1),d
2
∈(1,c
2
)使得g″(d
1
)=g″(d
2
)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(d
1
,d
2
)[*](0,2),使得g′″(ξ)=0,而g′″(x)=f′″(x)-2,所以f′″(ξ)=2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/U9S4777K
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考研数学一
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