讨论曲线y=2lnx与y=2x+ln2x+k在(0，+∞)内的交点个数(其中k为常数)．

admin2019-02-20 69

问题讨论曲线y=2lnx与y=2x+ln²x+k在(0，+∞)内的交点个数(其中k为常数)．

选项

答案令f(x)=2X+ln²x+k－2lnx(x∈(0，+∞))，于是本题两曲线交点个数即为函数f(x)的零点个数．由 [*] 令f’(x)=0，可解得唯一驻点x₀=1∈(0，+∞)．当0＜x＜1时f’(x)＜0，f(x)在(0，1]单调减少；而当x＞1时f’(x)＞0，f(x)在[1，+∞)单调增加．于是f(1)=2+k为f(x)在(0，+∞)最小值．因此f(x)的零点个数与最小值f(1)=2+k的符号有关．当f(1)＞0即k>－2时，f(x)在(0，+∞)内恒为正值函数，无零点．当f(1)=0即k=－2时，f(x)在(0，+∞)内只有一个零点x₀=1．当f(1)＜0即k＜－2时，需进一步考察f(x)在x→0⁺与x→+∞的极限： [*] 由连续函数的零点定理可得，[*]x₁∈(0，1)与x₂∈(1，+∞)使得f(x₁)=f(x₂)=0，且由f(x)在(0，1)与(1，+∞)内单调知f(x)在(0，1)内与(1，+∞)内最多各有一个零点，所以当k＜－2时，f(x)在(0，+∞)内恰有两个零点．

解析

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考研数学三

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