设f(x)在[a,b]连续,且x∈[a,b],总ヨy∈[a,b],使得|f(y)|≤1/2|f(x)|.试证:ヨξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.

admin2018-06-15  21

问题 设f(x)在[a,b]连续,且x∈[a,b],总ヨy∈[a,b],使得|f(y)|≤1/2|f(x)|.试证:ヨξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.

选项

答案反证法.若在[a,b]上f(x)处处不为零,则f(x)在[a,b]上或恒正或恒负.不失一般性,设f(x)>0,x∈[a,b],则ヨx0∈[a,b],f(x0)=[*]f(x)>0.由题设,对此x0,ヨy∈[a,b],使得 f(y)=|f(y)|≤1/2|f(0)|=1/2f(x0)<f(x0), 与f(x0)是最小值矛盾.因此,ヨξ∈[a,b],使f(ξ)=0.

解析
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