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设f(x)在[a,b]连续,且x∈[a,b],总ヨy∈[a,b],使得|f(y)|≤1/2|f(x)|.试证:ヨξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.
设f(x)在[a,b]连续,且x∈[a,b],总ヨy∈[a,b],使得|f(y)|≤1/2|f(x)|.试证:ヨξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.
admin
2018-06-15
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问题
设f(x)在[a,b]连续,且
x∈[a,b],总ヨy∈[a,b],使得|f(y)|≤1/2|f(x)|.试证:ヨξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.
选项
答案
反证法.若在[a,b]上f(x)处处不为零,则f(x)在[a,b]上或恒正或恒负.不失一般性,设f(x)>0,x∈[a,b],则ヨx
0
∈[a,b],f(x
0
)=[*]f(x)>0.由题设,对此x
0
,ヨy∈[a,b],使得 f(y)=|f(y)|≤1/2|f(0)|=1/2f(x
0
)<f(x
0
), 与f(x
0
)是最小值矛盾.因此,ヨξ∈[a,b],使f(ξ)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UHg4777K
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考研数学一
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