设二次型χTAχ＝χ12＋4χ22＋χ32＋2aχ1χ2＋2bχ1χ3＋2cχ2χ3，矩阵B＝，满足AB＝0． ①用正交变换化χTAχ为标准形，写出所作变换． ②求(A－3E)6．

admin2016-07-20 51

问题设二次型χ^TAχ＝χ₁²＋4χ₂²＋χ₃²＋2aχ₁χ₂＋2bχ₁χ₃＋2cχ₂χ₃，矩阵B＝

，满足AB＝0．
①用正交变换化χ^TAχ为标准形，写出所作变换．
②求(A－3E)⁶．

选项

答案[*] ①先作正交矩阵Q，使得Q^-1AQ是对角矩阵．条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)＝6．) 求属于特征值0的两个单位正交特征向量：对B的第1，2两个列向量α₁＝(1，0，1)^t，α₂＝(2，－1，0)^T作施密特正交化： [*] 求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α₁，α₂都正交，即是方程组 [*] 的非零解，求出α₃(1，2，－1)^T是属于6的一个特征向量，单位化 η₃＝α₃／‖α₃‖＝[*](1，2，－1)^T．记Q＝(η₁，η₂，η₃)，则Q是正交矩阵，Q^-1AQ＝[*]．作正交变换χ＝Qy，它χ^TAχ化为标准二次型6y₃²． ②A的特征值为0，0，6，则A－3E的特征值为－3，－3，3，(A－3E)⁶的3个特征值都是3⁶．于是(A－3E)⁶～3⁶E[*](A－3E)⁶＝3⁶E．

解析

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考研数学一

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设二次型χTAχ＝χ12＋4χ22＋χ32＋2aχ1χ2＋2bχ1χ3＋2cχ2χ3，矩阵B＝，满足AB＝0． ①用正交变换化χTAχ为标准形，写出所作变换． ②求(A－3E)6．

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