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  3. (2012年)设区域D由曲线y=sin，x=，y=1围成，则(xy5-1)dxdy=

(2012年)设区域D由曲线y=sin，x=，y=1围成，则(xy5-1)dxdy=

admin2018-07-30  56
问题 (2012年)设区域D由曲线y=sin，x=，y=1围成，则(xy5-1)dxdy=
选项 A、π.
B、2．
C、-2．
D、-π．
答案B
解析 方法1：Q(α1，α2，α2，α3)=(α1，α2，α3)=PM
其中，矩阵M=，易求出M-1=
于是，Q-1AQ=(PM)-1A(PM)=M-1(P-1AP)M

因此选(B)．
方法2：已知A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)
(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α2，2α3)
Aα1=α1，Aα2=α2，Aα3=2α3
A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2
AQ=A(α1+α2，α2，α3)
=(A(α1+α2)，Aα2，Aα3)=(α1+α2，α2，2α3)
=(α1+α2，α2，α3)
两端左乘Q-1，得Q-1AQ=，故选(B)．
方法3：由已知A相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知α1，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2．α1+α2≠0(否则α1+α2线性相关，与α1，α2，α3线性无关矛盾)，且A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2，因此α1+α2是A的属于特征值1的一个特征向量．
    从而知α1+α2，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出
    (α1+α2，α2，α3)-1A(α1+α2，α2，α3)=diag(1．1，2)，
即Q-1AQ=diag(1，1，2)．因此选(B)．
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考研数学二

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