(2012年)设区域D由曲线y=sin，x=，y=1围成，则(xy5-1)dxdy=

admin2018-07-30 108

问题 (2012年)设区域D由曲线y=sin，x=

，y=1围成，则

(xy⁵-1)dxdy=

选项 A、π.
B、2．
C、-2．
D、-π．

答案B

解析方法1：Q(α₁，α₂，α₂，α₃)=(α₁，α₂，α₃)

=PM
其中，矩阵M=

，易求出M^-1=

于是，Q^-1AQ=(PM)^-1A(PM)=M^-1(P^-1AP)M

因此选(B)．
方法2：已知A(α₁，α₂，α₃)=(α₁，α₂，α₃)

(Aα₁，Aα₂，Aα₃)=(α₁，α₂，2α₃)

Aα₁=α₁，Aα₂=α₂，Aα₃=2α₃

A(α₁+α₂)=Aα₁+Aα₂=α₁+α₂

AQ=A(α₁+α₂，α₂，α₃)
=(A(α₁+α₂)，Aα₂，Aα₃)=(α₁+α₂，α₂，2α₃)
=(α₁+α₂，α₂，α₃)

两端左乘Q^-1，得Q^-1AQ=

，故选(B)．
方法3：由已知A相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知α₁，α₂，α₃是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2．α₁+α₂≠0(否则α₁+α₂线性相关，与α₁，α₂，α₃线性无关矛盾)，且A(α₁+α₂)=Aα₁+Aα₂=α₁+α₂，因此α₁+α₂是A的属于特征值1的一个特征向量．
从而知α₁+α₂，α₂，α₃是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出
(α₁+α₂，α₂，α₃)^-1A(α₁+α₂，α₂，α₃)=diag(1．1，2)，
即Q^-1AQ=diag(1，1，2)．因此选(B)．

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