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(2012年)设区域D由曲线y=sin,x=,y=1围成,则(xy5-1)dxdy=
(2012年)设区域D由曲线y=sin,x=,y=1围成,则(xy5-1)dxdy=
admin
2018-07-30
118
问题
(2012年)设区域D由曲线y=sin,x=
,y=1围成,则
(xy
5
-1)dxdy=
选项
A、π.
B、2.
C、-2.
D、-π.
答案
B
解析
方法1:Q(α
1
,α
2
,α
2
,α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)
=PM
其中,矩阵M=
,易求出M
-1
=
于是,Q
-1
AQ=(PM)
-1
A(PM)=M
-1
(P
-1
AP)M
因此选(B).
方法2:已知A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)
(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
,α
2
,2α
3
)
Aα
1
=α
1
,Aα
2
=α
2
,Aα
3
=2α
3
A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=α
1
+α
2
AQ=A(α
1
+α
2
,α
2
,α
3
)
=(A(α
1
+α
2
),Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
+α
2
,α
2
,2α
3
)
=(α
1
+α
2
,α
2
,α
3
)
两端左乘Q
-1
,得Q
-1
AQ=
,故选(B).
方法3:由已知A相似于对角矩阵diag(1,1,2),知α
1
,α
2
,α
3
是A的3个线性无关特征向量,且依次属于特征值1,1,2.α
1
+α
2
≠0(否则α
1
+α
2
线性相关,与α
1
,α
2
,α
3
线性无关矛盾),且A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=α
1
+α
2
,因此α
1
+α
2
是A的属于特征值1的一个特征向量.
从而知α
1
+α
2
,α
2
,α
3
是A的3个线性无关特征向量,且依次属于特征值1,1,2,因此利用矩阵相似对角化可写出
(α
1
+α
2
,α
2
,α
3
)
-1
A(α
1
+α
2
,α
2
,α
3
)=diag(1.1,2),
即Q
-1
AQ=diag(1,1,2).因此选(B).
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考研数学二
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