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设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3. (Ⅰ)证明α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)令P=[α1,α2,α3],求P一1AP.
设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3. (Ⅰ)证明α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)令P=[α1,α2,α3],求P一1AP.
admin
2021-01-19
44
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α
3
满足Aα
3
=α
2
+α
3
.
(Ⅰ)证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关;
(Ⅱ)令P=[α
1
,α
2
,α
3
],求P
一1
AP.
选项
答案
(Ⅰ)设存在一组常数k
1
,k
2
,k
3
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0 ① 用A左乘①式两端,并利用Aα
1
=一α
1
,Aα
2
=α
2
, 一k
1
α
1
+(k
2
+k
3
)α
2
+k
3
α
3
=0 ② ①一②,得 2k
1
α
1
一k
3
α
2
=0 ③ 因为α
1
,α
2
是A的属于不同特征值的特征向量,所以α
1
,α
2
线性无关,从而由③式知k
1
=k
3
=0,代入①式得k
2
α
2
=0,又由于α
2
≠0,所以k
2
=0,故α
1
,α
2
,α
3
线性无关. (Ⅱ)由题设条件可得 AP=A[α
1
,α
2
,α
3
]=[Aα
1
,α
2
,Aα
3
]=[一α
1
,α
2
,α
2
+α
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
][*] 由(Ⅰ)知矩阵P可逆,用,1左乘上式两端,得 [*]
解析
本题(Ⅰ)也可用反证法:若α
1
,α
2
,α
3
线性相关,则由α
1
,α
2
线性无关知,存在常数k
1
,k
2
,使α
3
=k
1
α
1
+k
2
α
2
,用A左乘两端,则可推出矛盾.
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考研数学二
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