设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P一1AP．

admin2021-01-19 15

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃．
(Ⅰ)证明α₁，α₂，α₃线性无关；
(Ⅱ)令P=[α₁，α₂，α₃]，求P^一1AP．

选项

答案 (Ⅰ)设存在一组常数k₁，k₂，k₃，使得 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0 ① 用A左乘①式两端，并利用Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，一k₁α₁+(k₂+k₃)α₂+k₃α₃=0 ② ①一②，得 2k₁α₁一k₃α₂=0 ③ 因为α₁，α₂是A的属于不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关，从而由③式知k₁=k₃=0，代入①式得k₂α₂=0，又由于α₂≠0，所以k₂=0，故α₁，α₂，α₃线性无关． (Ⅱ)由题设条件可得 AP=A[α₁，α₂，α₃]=[Aα₁，α₂，Aα₃]=[一α₁，α₂，α₂+α₃]=[α₁，α₂，α₃][*] 由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用，1左乘上式两端，得 [*]

解析本题(Ⅰ)也可用反证法：若α₁，α₂，α₃线性相关，则由α₁，α₂线性无关知，存在常数k₁，k₂，使α₃=k₁α₁+k₂α₂，用A左乘两端，则可推出矛盾.

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考研数学二

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设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P一1AP．

考研数学二

计算行列式=____.

任意3维向量都可用α1＝(1，0，1)T，α2＝(1，－2，3)T，α3＝(a，1，2)T线性表出，则a_______．

已知AB—B=A，其中则A=_________．

已知α=(1，1，－1)T是矩阵A=的特征向量，则x=________．

请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是____无穷小，△y=f(x0+△x)-f(x0)与△x比较是_无穷小，△y-df(x)｜x=x0与△x比较是

曲线的斜渐近线方程为__________。

计算下列定积分：

设x1=10，xn+1=(n=1，2，…)，试证数列{xn}极限存在，并求此极限．

设f’(x0)＝f"(x0)＝0，f’’’(x0)＞0，则下列选项正确的是

(1988年)若函数y＝f(χ)，有f′(χ0)＝，则当△χ→0时，该函数在χ＝χ0处的微分dy【】

提出“消极的X理论”和“积极的Y理论”观点的学者是()

保护人体避免感染乙型病毒性肝炎的抗体是_______。

A．心B．脾C．肺D．肝E．肾称“罢极之本”的是

根据建设部2000年颁布的《建筑工程施工图设计文件审查暂行办法》规定,建设单位应当将施工图报送建设行政主管部门,由建设行政主管部分委托有关审查机构进行审查。审查的主要内容包括()。

关于融资租赁合同当事人的权利义务，下列说法正确的有()。

“孟母三迁”的典故体现了影响人发展的哪一种因素?这种因素在人的发展中有什么作用?

在教育过程中，切勿“揠苗助长”“陵节而施”，这是人的身心发展的()的要求。

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设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P一1AP．

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计算行列式=____.

任意3维向量都可用α1＝(1，0，1)T，α2＝(1，－2，3)T，α3＝(a，1，2)T线性表出，则a_______．

已知AB—B=A，其中则A=_________．

已知α=(1，1，－1)T是矩阵A=的特征向量，则x=________．

请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是__________无穷小，△y=f(x0+△x)-f(x0)与△x比较是_______无穷小，△y-df(x)｜x=x0与△x比较是

曲线的斜渐近线方程为__________。

计算下列定积分：

设x1=10，xn+1=(n=1，2，…)，试证数列{xn}极限存在，并求此极限．

设f’(x0)＝f"(x0)＝0，f’’’(x0)＞0，则下列选项正确的是

(1988年)若函数y＝f(χ)，有f′(χ0)＝，则当△χ→0时，该函数在χ＝χ0处的微分dy【】

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A．心B．脾C．肺D．肝E．肾称“罢极之本”的是

根据建设部2000年颁布的《建筑工程施工图设计文件审查暂行办法》规定,建设单位应当将施工图报送建设行政主管部门,由建设行政主管部分委托有关审查机构进行审查。审查的主要内容包括()。

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在教育过程中，切勿“揠苗助长”“陵节而施”，这是人的身心发展的()的要求。

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请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是____无穷小，△y=f(x0+△x)-f(x0)与△x比较是_无穷小，△y-df(x)｜x=x0与△x比较是

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