2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P一1AP．

设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P一1AP．

admin2021-01-19  13
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．
(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；
(Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P一1AP．
选项
答案 (Ⅰ)设存在一组常数k1，k2，k3，使得 k1α1+k2α2+k3α3=0 ① 用A左乘①式两端，并利用Aα1=一α1，Aα2=α2， 一k1α1+(k2+k3)α2+k3α3=0 ② ①一②，得 2k1α1一k3α2=0 ③ 因为α1，α2是A的属于不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关，从而由③式知k1=k3=0，代入①式得k2α2=0，又由于α2≠0，所以k2=0，故α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)由题设条件可得 AP=A[α1，α2，α3]=[Aα1，α2，Aα3]=[一α1，α2，α2+α3]=[α1，α2，α3][*] 由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用，1左乘上式两端，得 [*]
解析 本题(Ⅰ)也可用反证法：若α1，α2，α3线性相关，则由α1，α2线性无关知，存在常数k1，k2，使α3=k1α1+k2α2，用A左乘两端，则可推出矛盾.
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考研数学二

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