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设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P一1AP．
设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P一1AP．
admin
2021-01-19
45
问题
设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α
3
满足Aα
3
=α
2
+α
3
．
(Ⅰ)证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关；
(Ⅱ)令P=[α
1
，α
2
，α
3
]，求P
一1
AP．
选项
答案
(Ⅰ)设存在一组常数k
1
，k
2
，k
3
，使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0 ① 用A左乘①式两端，并利用Aα
1
=一α
1
，Aα
2
=α
2
， 一k
1
α
1
+(k
2
+k
3
)α
2
+k
3
α
3
=0 ② ①一②，得 2k
1
α
1
一k
3
α
2
=0 ③ 因为α
1
，α
2
是A的属于不同特征值的特征向量，所以α
1
，α
2
线性无关，从而由③式知k
1
=k
3
=0，代入①式得k
2
α
2
=0，又由于α
2
≠0，所以k
2
=0，故α
1
，α
2
，α
3
线性无关． (Ⅱ)由题设条件可得 AP=A[α
1
，α
2
，α
3
]=[Aα
1
，α
2
，Aα
3
]=[一α
1
，α
2
，α
2
+α
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
][*] 由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用，1左乘上式两端，得 [*]
解析
本题(Ⅰ)也可用反证法：若α
1
，α
2
，α
3
线性相关，则由α
1
，α
2
线性无关知，存在常数k
1
，k
2
，使α
3
=k
1
α
1
+k
2
α
2
，用A左乘两端，则可推出矛盾.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UM84777K
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考研数学二
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