首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是n阶矩阵,A的第i行、第i列的元素aii=i.j,求 A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
设A是n阶矩阵,A的第i行、第i列的元素aii=i.j,求 A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
admin
2014-04-23
64
问题
设A是n阶矩阵,A的第i行、第i列的元素a
ii
=i.j,求
A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
选项
答案
由A的特征多项式[*]故A有特征值.[*]当λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=0时,方程组(λE一A)x=0就是方程组Ax=0,其同解方程组是x
1
+2x
2
+…+nx
n
=0,解得对应的线性无关特征向量为ξ
1
=[一2,1,0,…,0]
T
,ξ
2
=[一3,0,1,0,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[一n,0,…,0,1]
T
.当[*]时,(λ
n
E—A)x=0,对系数矩阵作初等行变换,得 [*][*] 方程组的同解方程组为[*]得对应的特征向量为ξ
n
=[1,2,…,n]
T
.从而知A有n个线性无关特征向量,A~A,取 [*]则 [*] 法二 (I)由题设条件[*]中第i行元素是第1行的i倍.故有[*]其中α=[1,2,…,n]
T
≠0.故r(A)=1. (Ⅱ)因A
2
=(αα
T
)(αα
T
)=α(α
T
α)α
T
=(α
T
α)A=[*],故知A的特征值为0,[*]当λ=0时,对应的特征向量满足Ax=αα
T
x=0,因α
T
α.[*] 在方程αα
T
x=0两边左乘α
T
.得 α
T
(αα
T
x)=(α
T
α)α
T
x=0。得α
T
x=0.当α
T
x=0时,两边左乘α,得αα
T
x=0,故方程组为αα
T
x=0与α
T
x=0是同解方程组.只需解方程组α
T
x=0,解得线性无关的特征向量为ξ
1
=[一2,1,0,…,0]
T
,ξ
2
=[一3,0,1,0,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[一n,0,…,0.]
T
.又[*]故A有一个非零特征值[*]当[*]时,由(λ
n
E—A)X=(α
T
αE—αα
T
)x=0。由观察知,x=α时,有(α
T
αE一αα
T
)α=(α
T
α)α=(αα
T
)α=(α
T
α)α=α(α
T
α)=0,故α=[1,2,…,n]
T
=ξ
n
是对应[*]的特征向量.即A有n个线性无关的特征向量,A能相似于对角阵.(下同方法一)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UN54777K
0
考研数学一
相关试题推荐
求过原点且与两条直线都平行的平面方程.
已知|a|=2,|b|=5,a和b的夹角为2/3π,如果向量A=λa+17b与B=3a-b垂直,则系数λ=________________.
求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:
设向量组B:b1,b2,…,br能由向量组A:a1,a2,…,as线性表示为(b1,b2,…,br)=(a1,a2,…,as)K,其中K为s×r矩阵,且向量组A线性无关,证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.
设=1(x>0,y>0),P(x,y)∈L,过点P作L的切线,求切线与两坐标轴所围成区域面积的最小值.
设(Ⅰ)将L绕y轴旋转,求所得旋转体的体积;(Ⅱ)将所得旋转体盛满水,将水从顶部抽出,求做功几何?
(Ⅰ)设连续函数f(x)>0,且f(-x)f(x)≡1,又g(x)为偶函数,证明:(Ⅱ)计算
若函数y=f(x)具有二阶导数,且f’(x)>0,f"(x)<0,△x为自变量x在x0处的增量,△y与dy分别为f(x)在x0处的增量与微分,则当△x>0时,必有()。
齐次线性方程组的系数矩阵为A,若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则().
一辆机场交通车载有25名乘客途经9个站,每位乘客都等可能在这9个站中任意一站下车(且不受其他乘客下车与否的影响),交通车只在有乘客下车时才停车,令随机变量Yi表示在第i站下车的乘客数,i=1,2,…,Xi在有乘客下车时取值为1,否则取值为0.求:(Yi
随机试题
要使市场机制正常发挥作用,需要具备哪些条件?
用于表彰个体或群体的先进人物,公布他们的事迹,宣布给他们的奖励,分析他们的先进思想,指出应该向他们学习什么,用()
女性40岁,有胆囊结石病史2小时前,无诱因突发上腹剧痛向腰背部放散。伴恶心、呕吐。查体:体温37.5℃,巩膜无黄染,上腹部压痛;反跳痛,以中腹偏左为重。血淀粉酶1024U/dl,尿胆红素(++)。B超显示:胆囊3cm×7cm,多发强回声伴声影,0.5~0.
A、4~6周B、8~10周C、12周D、16周E、20周正常妊娠时,绒毛膜促性腺激素开始下降,是在末次月经后的
侦查人员询问证人时,正确的做法是:
下列对城市建设和房地产开发描述正确的是()。
索赔费用的计算方法有()。
在实践中,个人住房贷款期限在1年以上的,合同期内遇法定利率调整时,银行多是于()起,按相应的利率档次执行新的利率规定。
A公司于2010年7月1日发行2年期、面值总额为1800万元的—次还本、分期付息的债券,债券票面半年利率为2%,发行收入总额为1733.12万元,实际半年利率为3%。A公司每半年计息并付息—次。A公司将发行的公司债券划分为以摊余成本计量的金融负债。要求:
汽车站的1路车20分钟发一次车,5路车15分钟发一次车,两车于8:00同时发车后,再遇到同时发车至少再过______.
最新回复
(
0
)