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设A是n阶矩阵,A的第i行、第i列的元素aii=i.j,求 A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
设A是n阶矩阵,A的第i行、第i列的元素aii=i.j,求 A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
admin
2014-04-23
67
问题
设A是n阶矩阵,A的第i行、第i列的元素a
ii
=i.j,求
A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
选项
答案
由A的特征多项式[*]故A有特征值.[*]当λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=0时,方程组(λE一A)x=0就是方程组Ax=0,其同解方程组是x
1
+2x
2
+…+nx
n
=0,解得对应的线性无关特征向量为ξ
1
=[一2,1,0,…,0]
T
,ξ
2
=[一3,0,1,0,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[一n,0,…,0,1]
T
.当[*]时,(λ
n
E—A)x=0,对系数矩阵作初等行变换,得 [*][*] 方程组的同解方程组为[*]得对应的特征向量为ξ
n
=[1,2,…,n]
T
.从而知A有n个线性无关特征向量,A~A,取 [*]则 [*] 法二 (I)由题设条件[*]中第i行元素是第1行的i倍.故有[*]其中α=[1,2,…,n]
T
≠0.故r(A)=1. (Ⅱ)因A
2
=(αα
T
)(αα
T
)=α(α
T
α)α
T
=(α
T
α)A=[*],故知A的特征值为0,[*]当λ=0时,对应的特征向量满足Ax=αα
T
x=0,因α
T
α.[*] 在方程αα
T
x=0两边左乘α
T
.得 α
T
(αα
T
x)=(α
T
α)α
T
x=0。得α
T
x=0.当α
T
x=0时,两边左乘α,得αα
T
x=0,故方程组为αα
T
x=0与α
T
x=0是同解方程组.只需解方程组α
T
x=0,解得线性无关的特征向量为ξ
1
=[一2,1,0,…,0]
T
,ξ
2
=[一3,0,1,0,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[一n,0,…,0.]
T
.又[*]故A有一个非零特征值[*]当[*]时,由(λ
n
E—A)X=(α
T
αE—αα
T
)x=0。由观察知,x=α时,有(α
T
αE一αα
T
)α=(α
T
α)α=(αα
T
)α=(α
T
α)α=α(α
T
α)=0,故α=[1,2,…,n]
T
=ξ
n
是对应[*]的特征向量.即A有n个线性无关的特征向量,A能相似于对角阵.(下同方法一)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UN54777K
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考研数学一
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