首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是n阶矩阵,A的第i行、第i列的元素aii=i.j,求 A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
设A是n阶矩阵,A的第i行、第i列的元素aii=i.j,求 A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
admin
2014-04-23
97
问题
设A是n阶矩阵,A的第i行、第i列的元素a
ii
=i.j,求
A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
选项
答案
由A的特征多项式[*]故A有特征值.[*]当λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=0时,方程组(λE一A)x=0就是方程组Ax=0,其同解方程组是x
1
+2x
2
+…+nx
n
=0,解得对应的线性无关特征向量为ξ
1
=[一2,1,0,…,0]
T
,ξ
2
=[一3,0,1,0,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[一n,0,…,0,1]
T
.当[*]时,(λ
n
E—A)x=0,对系数矩阵作初等行变换,得 [*][*] 方程组的同解方程组为[*]得对应的特征向量为ξ
n
=[1,2,…,n]
T
.从而知A有n个线性无关特征向量,A~A,取 [*]则 [*] 法二 (I)由题设条件[*]中第i行元素是第1行的i倍.故有[*]其中α=[1,2,…,n]
T
≠0.故r(A)=1. (Ⅱ)因A
2
=(αα
T
)(αα
T
)=α(α
T
α)α
T
=(α
T
α)A=[*],故知A的特征值为0,[*]当λ=0时,对应的特征向量满足Ax=αα
T
x=0,因α
T
α.[*] 在方程αα
T
x=0两边左乘α
T
.得 α
T
(αα
T
x)=(α
T
α)α
T
x=0。得α
T
x=0.当α
T
x=0时,两边左乘α,得αα
T
x=0,故方程组为αα
T
x=0与α
T
x=0是同解方程组.只需解方程组α
T
x=0,解得线性无关的特征向量为ξ
1
=[一2,1,0,…,0]
T
,ξ
2
=[一3,0,1,0,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[一n,0,…,0.]
T
.又[*]故A有一个非零特征值[*]当[*]时,由(λ
n
E—A)X=(α
T
αE—αα
T
)x=0。由观察知,x=α时,有(α
T
αE一αα
T
)α=(α
T
α)α=(αα
T
)α=(α
T
α)α=α(α
T
α)=0,故α=[1,2,…,n]
T
=ξ
n
是对应[*]的特征向量.即A有n个线性无关的特征向量,A能相似于对角阵.(下同方法一)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UN54777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设函数f(x)在[0,1]上非负连续,且f(0)=f(1)=0,证明对实数a(0<a<1),必有ξ∈[0,1)使f(ξ+a)=f(ξ).
已知y1=3,y2=3+x2,y3=3+x2+ex都是微分方程(x2-2x)y“-(x2-2)y‘+(2x-2)y=6x-6的解,求此方程的通解.
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明:存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
曲线上对应于t=π/4点处的法线方程.
设f(x1,x2,x3)=XTAX,其中A为3阶实对称矩阵,A93=0,又|2E+A|=0.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)求正交变换X=QY,使得二次型XTAX化为标准形.
已知y1=exsinx+e2x与y2=-exsinx+e2x为某二阶常系数非齐次线性微分方程的特解,则该非齐次线性微分方程为_________________.
设函数y(x)由参数方程确定,则曲线y=y(x)在参数t=0对应的点处的曲率率k=________.
设平面薄片所占的区域D由抛物线y=x2及直线y=x所围成,它在(x,y)处的面密度ρ(x,y)=x2y,求此薄片的重心.
设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平α=0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.
求展为x-2的幂级数,并指出其收敛域.
随机试题
Readinginvolveslookingatgraphicsymbolsandformulatingmentallythesoundsandideastheyrepresent.Conceptsofreading
三叉神经痛和舌神经痛的首选药是
仅用于其他药物无效的哮喘持续状态和重症哮喘者可用于预防哮喘的药物是
自动打字机()
关于衍生工具的说法,正确的是()。Ⅰ.金融衍生工具产生的最基本原因是避险Ⅱ.20世纪80年代以来的金融自由化进一步推动了金融衍生工具的发展Ⅲ.金融机构的利润驱动是金融衍生工具产生和迅速发展的重要原因Ⅳ.新技术
()是我国商业银行的主要业务对象。
智力三维结构模型是由美国心理学家()提出来的。
下列中国古代著名文学家及其主要作品对应错误的是()。
Mystudentsfoundthebook______,itprovidingthemwithanabundanceofinformationonthesubject.
NoNeglectingtheFundamentalCoursesForthispart,youareallowed30minutestowriteanessaybasedonthepicturebelow
最新回复
(
0
)