求xy”一y’lny’+y’lnx=0满足y(1)=2和y’(1)=e2的特解．

admin2021-08-02 83

问题求xy”一y’lny’+y’lnx=0满足y(1)=2和y’(1)=e²的特解．

选项

答案设y’=p，则y”=p’，代入原方程中，xp’—plnp+plnx=0，即 [*] 这是齐次方程，设p=xu，则[*]，代入上式得 [*] 由原方程知x＞0，y’＞0，从而u＞0，积分后得 lnu一1=C₁x，即lnu=C₁x+1，回代[*] 代入初值条件y’(1)=e²，解得C₁=1，得到方程 [*] 积分得y=(x一1)e^x+1+C₂．代入初值条件y(1)=2，解得C₂=2，故所求特解为y=(x一1)e^x+1+2．

解析

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