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[2010年] 设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y′+P(x)y=q(x)的两个特解.若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解,则( ).
[2010年] 设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y′+P(x)y=q(x)的两个特解.若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解,则( ).
admin
2019-05-10
70
问题
[2010年] 设y
1
,y
2
是一阶线性非齐次微分方程y′+P(x)y=q(x)的两个特解.若常数λ,μ使λy
1
+μy
2
是该方程的解,λy
1
一μy
2
是该方程对应的齐次方程的解,则( ).
选项
A、λ=1/2,μ=1/2
B、λ=一1/2,μ=一1/2
C、λ=2/3,μ=1/3
D、λ=2/3,μ=2/3
答案
A
解析
将λy
1
+μy
2
代入非齐次方程,同时将λy
1
一μy
2
代入对应的齐次方程,可得到关于λ,μ的两个方程,解之即可求得λ,μ.
利用解的定义和性质求之.由命题1.6.2.1(2)知,λy
1
一μy
2
是y′+P(x)y=0的解,故
(λy-μy
2
)′+P(x)(λy
1
一μy
2
)=0, 即 λ[y′
1
+P(x)y
1
]一μ[y′
2
+p(x)y
2
]=0,
亦即λq(x)-μq(x)=(λ一μ)q(x)=0,故λ=μ.又由题设知y
1
,y
2
为y′+p(x)y=g(x)的解,故
y′
1
+P(x)y
1
=q(x), y′
2
+P(x)y
2
=q(x),
因λy
1
+μy
2
是y′+P(x)y=q(x)的解,故
(λy
1
+μy
2
)′+P(x)(λy
1
+μy
2
)=q(x).
即 λ[y′
1
+P(x)y
1
]+μ[y′
2
+P(x)y
2
]=λq(x)+μq(x)=(λ+μ)q(x)=q(x).
从而μ+λ=1,又由λ=μ得λ=μ=1/2.仅(A)入选.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UNV4777K
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考研数学二
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