2. 考研
  3. [2010年] 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′+P(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．

[2010年] 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′+P(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．

admin2019-05-10  59
问题 [2010年]  设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′+P(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则(    )．
选项 A、λ=1／2，μ=1／2
B、λ=一1／2，μ=一1／2
C、λ=2／3，μ=1／3
D、λ=2／3，μ=2／3
答案A
解析 将λy1+μy2代入非齐次方程，同时将λy1一μy2代入对应的齐次方程，可得到关于λ，μ的两个方程，解之即可求得λ，μ．
利用解的定义和性质求之．由命题1．6．2．1(2)知，λy1一μy2是y′+P(x)y=0的解，故
(λy－μy2)′+P(x)(λy1一μy2)=0，    即    λ[y′1+P(x)y1]一μ[y′2+p(x)y2]=0，
亦即λq(x)－μq(x)=(λ一μ)q(x)=0，故λ=μ．又由题设知y1，y2为y′+p(x)y=g(x)的解，故
    y′1+P(x)y1=q(x)，  y′2+P(x)y2=q(x)，
因λy1+μy2是y′+P(x)y=q(x)的解，故
    (λy1+μy2)′+P(x)(λy1+μy2)=q(x)．
即  λ[y′1+P(x)y1]+μ[y′2+P(x)y2]=λq(x)+μq(x)=(λ+μ)q(x)=q(x)．
从而μ+λ=1，又由λ=μ得λ=μ=1／2．仅(A)入选．
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考研数学二

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