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[2002年] 设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( ).
[2002年] 设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( ).
admin
2019-05-10
69
问题
[2002年] 设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P
-1
AP)
T
属于特征值λ的特征向量是( ).
选项
A、P
-1
α
B、P
T
α
C、Pα
D、(P
-1
)
T
α
答案
B
解析
可用命题2.5.1.11(8),也可利用特征值、特征向量的定义求解.
由题设有Aα=λα,且A
T
=A.令B=(P
-1
AP)
T
,则 B=(P
-1
AP)
T
=P
T
A
T
(P
-1
)
T
=P
T
A(P
T
)
-1
, A=(P
T
)
-1
BP
T
α
故 Aα=(P
T
)
-1
BP
T
α, 即 (P
T
)
-1
B(P
T
α)=λα.
在上式两边左乘PT得到B(P
T
α)=λP
T
α.如能证P
T
α≠0,则P
T
α为B的属于λ的特征向量.
事实上,如P
T
α=0,则由P为可逆矩阵知,P
T
也为可逆矩阵,于是有(P
T
)
-1
P
T
α=(P
T
)
-1
0=0,即α=0.这与a≠0矛盾.故P
T
α为矩阵B=(P
-1
AP)
T
的属于特征值λ的特征向量.仅(B)入选.
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考研数学二
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