2. 考研
  3. [2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．

[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．

admin2019-05-10  56
问题 [2002年]  设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是(    )．
选项 A、P-1α
B、PTα
C、Pα
D、(P-1)Tα
答案B
解析 可用命题2．5．1．11(8)，也可利用特征值、特征向量的定义求解．
  由题设有Aα=λα，且AT=A．令B=(P-1AP)T，则    B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1，  A=(PT)-1BPTα
故    Aα=(PT)-1BPTα，  即  (PT)-1B(PTα)=λα．
在上式两边左乘PT得到B(PTα)=λPTα．如能证PTα≠0，则PTα为B的属于λ的特征向量．
    事实上，如PTα=0，则由P为可逆矩阵知，PT也为可逆矩阵，于是有(PT)-1PTα=(PT)-10=0，即α=0．这与a≠0矛盾．故PTα为矩阵B=(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量．仅(B)入选．
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考研数学二

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