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[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．
[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．
admin
2019-05-10
98
问题
[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P
-1
AP)
T
属于特征值λ的特征向量是( )．
选项
A、P
-1
α
B、P
T
α
C、Pα
D、(P
-1
)
T
α
答案
B
解析
可用命题2．5．1．11(8)，也可利用特征值、特征向量的定义求解．
由题设有Aα=λα，且A
T
=A．令B=(P
-1
AP)
T
，则 B=(P
-1
AP)
T
=P
T
A
T
(P
-1
)
T
=P
T
A(P
T
)
-1
， A=(P
T
)
-1
BP
T
α
故 Aα=(P
T
)
-1
BP
T
α， 即 (P
T
)
-1
B(P
T
α)=λα．
在上式两边左乘PT得到B(P
T
α)=λP
T
α．如能证P
T
α≠0，则P
T
α为B的属于λ的特征向量．
事实上，如P
T
α=0，则由P为可逆矩阵知，P
T
也为可逆矩阵，于是有(P
T
)
-1
P
T
α=(P
T
)
-1
0=0，即α=0．这与a≠0矛盾．故P
T
α为矩阵B=(P
-1
AP)
T
的属于特征值λ的特征向量．仅(B)入选．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UVV4777K
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