设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则( )

admin2021-01-25 83

问题设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r₁，则( )

选项 A、r＞r₁．
B、r＜r₁．
C、r=r₁．
D、r与r₁的关系依C而定．

答案C

解析因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)=r(A)．
本题主要考查“初等变换不改变矩阵的秩(即等价的矩阵具有相同的秩)”的性质．注意，用矩阵乘法表示等价矩阵的形式：A与B行等价

存在可逆矩阵P，使得PA=B；A与B列等价

存在可逆矩阵Q，使得AQ=B；A与B等价

存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B．

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