首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×s阶矩阵,B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.
设A是m×s阶矩阵,B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.
admin
2021-11-09
69
问题
设A是m×s阶矩阵,B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.
选项
答案
首先,方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解.令r(B)=r且ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
是方程组BX=0的基础解系,现设方程组ABX=0有一个解η
0
不是方程组BX=0的解,即Bη
0
≠0,显然ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
,η
0
线性无关,若ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
,η
0
线性相关,则存在不全为零的常数k
1
,k
2
,…,k
n-r
,k
0
,使得k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
+k
0
η
0
=0, 若k
0
=0,则k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0,因为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关, 所以k
1
=k
2
=…=k
n-r
=0,从而ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
,η
0
线性无关,所以k
0
≠0,故η
0
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性表示,由齐次线性方程组解的结构,有Bη
0
=0,矛盾,所以ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
,η
0
线性无关,且为方程组ABX=0的解,从而n-r(AB)≥n-r+1,r(AB)≤r-1,这与r(B)=r(AB)矛盾,故方程组BX=0与ABX=0同解.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PSy4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设b>a>0,证明:.
已知A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1)T+k1(1,0,2,1)T+k2(2,1,1,-1)T.B=(α1,α2,α3),求Bx=b的通解;
设=A,证明:数列{an}有界。
设f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明:存在ε∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ε).
求由方程x2+y3-xy=0确定的函数在x﹥0内的极值,并指出是极大值还是极小值。
设A,B,C,D都是n阶矩阵,r(CA+DB)=n.设ξ1,ξ2,...,ξr与η1,η2,...,ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系,证明:ξ1,ξ2,...,ξr,η1,η2,...,ηs线性无关。
设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则()。
设A为n阶矩阵且r(A)=n-1,证明:存在常数k,使得(A*)2=kA*.
设φ1(x),φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解,则该方程的通解为().
设y(x)是微分方程y’’+(x-1)y’+x2y=ex满足初始条件y(0)=0,y’(0)=1的解,则().
随机试题
下列哪部作品揭露了封建贵族的罪恶
(2017年第157题)重症急性肾衰竭透析治疗的方法有
某病人,男,58岁无痛性全程肉眼血尿半个月,B超检查发现肾脏有一5cm×6cm大小实质性占位。
下列药物禁用于ITP患者的是
营养不良测定腹壁皮下脂肪厚度的部位
以下哪种材料可以作为泡沫混凝土的泡沫剂?[2007年第031题]
依据《安全生产法》的规定,从业人员的工伤保险费由()缴纳。
设备工程中的总承包主要有以下形式:( )。
莫扎特对音乐的最大贡献体现在歌剧领域,他主张“________”,一生创作了很多令世人为之震撼的作品。
Sandra’smethodprovedtobe______inhandlingmultipletasksatonce.
最新回复
(
0
)