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设曲线积分∫L[f’(x)+2f(x)+ex]ydx+[f’(x)一x]dy与路径无关,且f(0)=0,其中f(x)连续可导,求f(x).
设曲线积分∫L[f’(x)+2f(x)+ex]ydx+[f’(x)一x]dy与路径无关,且f(0)=0,其中f(x)连续可导,求f(x).
admin
2019-08-23
37
问题
设曲线积分∫
L
[f’(x)+2f(x)+e
x
]ydx+[f’(x)一x]dy与路径无关,且f(0)=0,
其中f(x)连续可导,求f(x).
选项
答案
P(x,y)=[f’(x)+2f(x)+e
x
]y,Q(x,y)=f’(x)一x, [*]=f"(x)-1,[*]=f’(x)+2f(x)+e
x
, 因为曲线积分与路径无关,所以[*],整理得f"(x)一f’(x)一2f(x)=e
x
+1, 特征方程为λ
2
一λ一2=0,特征值为λ
1
=一1,λ
2
=2, 方程f"(x)一f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C
1
e
-x
+C
2
e
2x
; 令方程f"(x)一f’(x)一2f(x)=e
x
的特解为f
1
(x)=ae
x
,代入得 [*] 方程f"(x)一f’(x)一2f(x)=1的特解为f
2
(x)=[*] 方程f"(x)一f’(x)一2f(x)=e
x
+1的特解为f
0
(x)=[*] 方程f"(x)一f’(x)一2f(x)=e
x
+1的通解为f(x)=C
1
e
-x
+C
2
e
2x
一[*] 由f(0)=0,f’(0)=[*] 故f(x)=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UZc4777K
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考研数学一
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