设曲线积分∫L[f’(x)+2f(x)+ex]ydx+[f’(x)一x]dy与路径无关，且f(0)=0，其中f(x)连续可导，求f(x)．

admin2019-08-23 38

问题设曲线积分∫_L[f’(x)+2f(x)+e^x]ydx+[f’(x)一x]dy与路径无关，且f(0)=0，

其中f(x)连续可导，求f(x)．

选项

答案P(x，y)=[f’(x)+2f(x)+e^x]y，Q(x，y)=f’(x)一x， [*]=f"(x)-1，[*]=f’(x)+2f(x)+e^x，因为曲线积分与路径无关，所以[*]，整理得f"(x)一f’(x)一2f(x)=e^x+1，特征方程为λ²一λ一2=0，特征值为λ₁=一1，λ₂=2，方程f"(x)一f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C₁e^-x+C₂e^2x；令方程f"(x)一f’(x)一2f(x)=e^x的特解为f₁(x)=ae^x，代入得 [*] 方程f"(x)一f’(x)一2f(x)=1的特解为f₂(x)=[*] 方程f"(x)一f’(x)一2f(x)=e^x+1的特解为f₀(x)=[*] 方程f"(x)一f’(x)一2f(x)=e^x+1的通解为f(x)=C₁e^-x+C₂e^2x一[*] 由f(0)=0，f’(0)=[*] 故f(x)=[*]

解析

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考研数学一

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