2. 考研
  3. 设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0．g’(x)＜0，试证明存在∈∈(a，b)使

设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0．g’(x)＜0，试证明存在∈∈(a，b)使

admin2017-02-28  57
问题 设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0．g’(x)＜0，试证明存在∈∈(a，b)使
选项
答案令φ(x)=f(x)∫xbg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，显然函数φ(x)在区间[a，b]上连续，函数φ(x)在区间(a，b)内可导，且 φ’(x)=[f’(x)∫xbg(f)dt一f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(f)dt] =f’(x)∫xbg(t)dt+g’(T)∫axf(t)dt 另外，又有φ(a)=φ(b)=0． 所以根据罗尔定理可知存在ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即 f’(ξ)∫ξbg(f)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0， 由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有∫xbg(t)dt＞0，于是有 [*]
解析
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考研数学一

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