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已知y(x)=xe-x+e—h,y2*(x)=xe-x+xe-2x,y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+qy=f(x)的三个特解. 求这个方程和它的通解;
已知y(x)=xe-x+e—h,y2*(x)=xe-x+xe-2x,y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+qy=f(x)的三个特解. 求这个方程和它的通解;
admin
2014-02-06
85
问题
已知y(x)=xe
-x
+e—h,y
2
*
(x)=xe
-x
+xe
-2x
,y
3
*
(x)=xe
-x
+e
-2x
+xe
-2x
是某二阶线性常系数微分方程y
’’
+py
’
+qy=f(x)的三个特解.
求这个方程和它的通解;
选项
答案
由线性方程解的叠加原理→y
1
(x)=y
3
*
(x)一y
2
*
(x)=e
-2x
,y
2
(x)=y
3
*
(x)一y
1
*
(x)=xe
-2x
均是相应的齐次方程的解,它们是线性无关的.于是相应的特征方程为(λ+2)
2
=0,即λ
2
+4λ+4=0,原方程为y
2
+4y
2
+4y=f(x).(*)又y
*
(x)=xe
-x
是它的特解,求导得y
*’
(x)=e
-x
(1一x),y
*’’
(x)=e
-x
(x一2).代入方程(*)得e
-x
(x一2)+4e
-x
(1一x)+4xe
-x
=f(x)→f(x)=(x+2)e
-x
→所求方程为y
’’
+4y
’
+4y=(x+2)e
-x
,其通解为y=C
1
e
-2x
+C
2
xe
-2x
+xe
-x
,其中C
1
,C
2
为[*]常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kk54777K
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考研数学一
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