求y=∫0x(1-t)arctantdt的极值．

admin2021-10-18 27

问题求y=∫₀^x(1-t)arctantdt的极值．

选项

答案令y’=(1-x)arctanx=0，得x=0或x=1，y"=-arctanx+(1-x)/(1+x²)，因为y"(0)=1＞0，y"(1)=-π/4＜0，所以x=0为极小值点，极小值为y=0；x=11为极大值点，极大值为y(1)=∫₀¹(1-t)arctantdt=∫₀²arctant-∫₀¹tarctantdt=tarctant｜₀¹-∫₀¹t/(1+t²)dt-t²/2arctant｜₀¹+1/2∫₀¹t²/(1+t²)dt=π/4-1/2ln2-π/8+1/2-π/8=1/2(1-ln2)．

解析

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