2. 考研
  3. (2004年)设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。

(2004年)设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。

admin2021-01-25  80
问题 (2004年)设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
选项
答案令F(x)=f(x)一g(x)，G(x)=∫abF(t)dt，由题设G(x)≥0，x∈[a，b]，有G(a)=G(b)=0，G’(x)=F(x)。 从而 ∫abxF(x)dx=∫abxdG(x)=xG(x)|ab-∫abG(x)dx=一∫abG(x)dx， 由于G(x)≥0，x∈[a，b]，故有一∫abG(x)dx≤0，即∫abxF(x)dx≤0。因此 ∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
解析
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考研数学三

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