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(2004年)设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b),∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。证明:∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
(2004年)设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b),∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。证明:∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
admin
2021-01-25
56
问题
(2004年)设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足∫
a
x
f(t)dt≥∫
a
x
g(t)dt,x∈[a,b),∫
a
b
f(t)dt=∫
a
b
g(t)dt。证明:∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx。
选项
答案
令F(x)=f(x)一g(x),G(x)=∫
a
b
F(t)dt,由题设G(x)≥0,x∈[a,b],有G(a)=G(b)=0,G’(x)=F(x)。 从而 ∫
a
b
xF(x)dx=∫
a
b
xdG(x)=xG(x)|
a
b
-∫
a
b
G(x)dx=一∫
a
b
G(x)dx, 由于G(x)≥0,x∈[a,b],故有一∫
a
b
G(x)dx≤0,即∫
a
b
xF(x)dx≤0。因此 ∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Uux4777K
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考研数学三
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