设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球,现将每个球随机地放入四个盒子,记X为至少有一只球的盒子的最小号码. (Ⅰ)求X的分布律; (Ⅱ)若当X=k时,随机变量Y在[0,k]上服从均匀分布k=1,2,3,4,求P{Y≤2}.

admin2018-11-23  46

问题 设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球,现将每个球随机地放入四个盒子,记X为至少有一只球的盒子的最小号码.
    (Ⅰ)求X的分布律;
    (Ⅱ)若当X=k时,随机变量Y在[0,k]上服从均匀分布k=1,2,3,4,求P{Y≤2}.

选项

答案(Ⅰ)随机变量X的可能取值为1,2,3,4,设事件Ai表示第i个盒子是空的(i=1,2,3,4),则 P{X=1}=1-P(A1)=1-[*], P{X=2}=P(A1[*])=P(A1)P([*]|A1)=[*], P{X=3}=P(A1A2[*])=P(A1)P(A2|A1)P([*]|A1A2) =[*] P{X=4}=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) =[*] 或P{X=4}=1-[*]. 于是X的分布律为 [*] (Ⅱ)由于当X=k时,随机变量Y在[0,k]上服从均匀分布,故 P{Y≤2|X=1}=P{Y≤2|X=2}=1, P{Y≤2|X=3}=[*],P{Y≤2|X=4}=[*]. 由全概率公式即得 P{Y≤2}=[*]P{Y≤2,X=k}=[*]P{X=k}P{Y≤2|X=k}; =[*]

解析
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