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设n元线性方程组Ax=b,其中 (Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)an; (Ⅱ)当a为何值时,该方程组有唯一的解,并在此时求x1; (Ⅲ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并在此时求其通解.
设n元线性方程组Ax=b,其中 (Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)an; (Ⅱ)当a为何值时,该方程组有唯一的解,并在此时求x1; (Ⅲ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并在此时求其通解.
admin
2019-08-01
77
问题
设n元线性方程组Ax=b,其中
(Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)a
n
;
(Ⅱ)当a为何值时,该方程组有唯一的解,并在此时求x
1
;
(Ⅲ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并在此时求其通解.
选项
答案
(Ⅰ)记D
n
=|A|,以下用数学归纳法证明D
n
=(n+1)a
n
.当n=1时,D
1
=2a,结论成立;当n=2时, D
2
=[*]=3a
2
=(n+1)a
n
结论成立;假设结论对于小于n的情况成立.将D
n
按第1行展开,得 D
n
= 2aD
n一1
一[*] =2aD
n一1
一a
2
D
n一2
(代入归纳假设D
k
=(k+1)a
k
,k<n) = 2ana
n一1
一a
2
(n一1)a
n一2
=(n+1)a
n
故|A|=(n+1)a
n
. (Ⅲ)当a=0时,方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n一1,所以此时方程组有无穷多解,其通解为 x=(0,1,0,…,0)
T
+k(1,0,0,…,0)
T
其中k为任意常数.
解析
本题综合考查高阶行列式的计算、线性方程组解的判定及其求解方法.注意当a=0时,方程组为:x
2
=1,x
3
=0,…,x
n
=0,由于系数矩阵右上角的n一1阶子式非零,故选取x
2
,…,x
n
为约束未知量,而x
1
为自由未知量,令x
1
=0,便得Ax=b的一个特解为η=(0,1,0,…,0)
T
,在对应齐次方程组Ax=0中,令自由未知量x
1
=1,便得Ax=0的基础解系为ξ=(1,0,0,…,0)
T
,于是由解的结构定理便得Ax=b的通解为x=η+kξ.
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考研数学二
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