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利用代换将方程y"cosx-2y’sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解。
利用代换将方程y"cosx-2y’sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解。
admin
2019-01-26
45
问题
利用代换
将方程y"cosx-2y’sinx+3ycosx=e
x
化简,并求出原方程的通解。
选项
答案
方法一:由[*]得 y’=u’sec x+usec xtanx. y"=u"sec x+2u’sec xtan c+usec xtan
2
x+usec
3
x, 代入原方程y"cosx-2y’sin x+3ycosx=e
x
,得 u"+4u=e
x
。 (1) 先求其对应的齐次线性微分方程的通解。由于其特征方程为λ
2
+4=0,则特征方程的根为λ=+2i。所以通解为[*]=C
1
cos 2x+C
2
sin 2x,其中C
1
,C
2
为任意常数。 再求非齐次线性微分方程的特解。设其特解为u
*
(x)=Ae
x
,代入(1)式,得 (Ae
x
)"+4(Ae
x
)=Ae
x
+4Ae
x
=e
x
, 则[*]因此[*]所以(1)式的通解为 [*] 其中C
1
,C
2
为任意常数。 因此,原方程的通解为 [*] 方法二:由[*]得u=ycosx,于是 u’=y’cos x-ysin x, u"=y"cos x-2y’sin x-ycos x, 于是原方程y"cos x-2y’sin x+3ycos x=e
x
化为u"+4u=e
x
(以下求解过程同方法一)。
解析
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考研数学二
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