利用代换将方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。

admin2019-01-26 45

问题利用代换

将方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=e^x化简，并求出原方程的通解。

选项

答案方法一：由[*]得 y’=u’sec x+usec xtanx． y"=u"sec x+2u’sec xtan c+usec xtan²x+usec³x，代入原方程y"cosx－2y’sin x+3ycosx=e^x，得 u"+4u=e^x。 (1) 先求其对应的齐次线性微分方程的通解。由于其特征方程为λ²+4=0，则特征方程的根为λ=+2i。所以通解为[*]=C₁cos 2x+C₂sin 2x，其中C₁，C₂为任意常数。再求非齐次线性微分方程的特解。设其特解为u^*(x)=Ae^x，代入(1)式，得 (Ae^x)"+4(Ae^x)=Ae^x+4Ae^x=e^x，则[*]因此[*]所以(1)式的通解为 [*] 其中C₁，C₂为任意常数。因此，原方程的通解为 [*] 方法二：由[*]得u=ycosx，于是 u’=y’cos x－ysin x， u"=y"cos x－2y’sin x－ycos x，于是原方程y"cos x－2y’sin x+3ycos x=e^x化为u"+4u=e^x(以下求解过程同方法一)。

解析

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考研数学二

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