设向量组α1，α2线性无关，α1，α2，β1线性相关，又非零向量β2与α1，α2正交，则下列结论正确的是( )．

admin2021-03-10 61

问题设向量组α₁，α₂线性无关，α₁，α₂，β₁线性相关，又非零向量β₂与α₁，α₂正交，则下列结论正确的是( )．

选项 A、向量组α₁，α₂，β₂线性相关
B、向量组α₁，α₂，β₁＋kβ₂线性无关
C、向量组α₁，α₂，β₁＋kβ₂线性相关
D、向量组α₁，α₂，β₁－β₂线性无关

答案D

解析由α₁，α₂线性无关，且α₁，α₂，β₁线性相关得β₁可由向量组α₁，α₁线性表示；
令k₁α₁＋k₂α₂＋k₃β₂＝0，
由(β₂，k₁α₁＋k₂α₂＋k₃β₂)＝0且β₂与α₁，α₂正交得k₃(β₂，β₂)＝0，
再由β₂≠0得(β₂，β₂)＞0，从而k₃＝0，
于是k₁α₁＋k₂α₂＝0，再由α₁，α₂线性无关得是k₁＝k₂＝0，
即α₁，α₂，β₂线性无关，故β₁－β₂不可由α₁，α₂线性表示。即α₁，α₂，β₁－β₂线性无关，应选D．

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考研数学二

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