已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解. (1)证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2. (2)求a,b的值及方程组的通解.

admin2020-09-25  70

问题 已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解.
(1)证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2.
(2)求a,b的值及方程组的通解.

选项

答案(1)设ξ1,ξ2,ξ3是该线性方程组的3个线性无关的解,则ξ1一ξ2,ξ1一ξ3是对应的齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解,因而4-R(A)≥2,即R(A)≤2.又A有一个2阶子式[*]≠0,于是R(A)≥2.因此R(A)=2. (2)对增广矩阵[*]施以初等行变换,有 [*] 因R(A)=2,故4—2a=0,4a+b一5=0,即a=2,b=一3.此时 [*] 可得方程组通解为[*]其中k1,k2为任意常数.

解析
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