[2013年] 设矩阵A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( )．

admin2021-01-25 40

问题 [2013年] 设矩阵A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( )．

选项 A、矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
B、矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
C、矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
D、矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

答案B

解析解一对矩阵A，C分别按列分块，记A=[α₁，α₂，…，α_n]，C=[γ₁，γ₂，…，γ_n]，又令B=
(bγ_ij)γ_n×n，则由AB=C得到

可见，C的列向量组可由A的列向量组线性表出．因B可逆，由A=CB^-1类似可证，A的列向量组也可由C的列向量组线性表出．由两向量组等价的定义知，仅(B)入选．
解二因可逆矩阵可表示成若干个初等矩阵的乘积，而每个初等矩阵表示一次初等变换，可逆矩阵B左乘矩阵A，于是A经过有限次初等列变换化为C，而初等列变换能保持变换前的矩阵与变换后所得矩阵的列向量组的等价关系(见命题2．3．1．3)，因而仅(B)入选．
注：命题2．3．1．3 如果矩阵A经有限次初等行(列)变换化成矩阵B(即A≌B)，则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价．

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