2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且＝0，又f(2)＝ 2f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)＋f’’(ξ)＝0．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且＝0，又f(2)＝ 2f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)＋f’’(ξ)＝0．

admin2018-01-23  32
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且＝0，又f(2)＝
2f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)＋f’’(ξ)＝0．
选项
答案[*] 由积分中值定理得f(2)＝2[*]f(x)dx＝f(c)，其中c∈[1，[*]]， 由罗尔定理，存在x0(c，2)[*](1，2)，使得f’(x0)＝0． 令φ(x)＝exf’(x)，则φ(1)＝φ(x0)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)[*](0，2)，使得φ’(ξ)＝0， 而φ’(x)＝ex[f’(x)＋f’’(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)＋f(ξ)＝0．
解析
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考研数学三

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