(2003年)某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打．都将克服土层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，是k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a m，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前

admin2018-07-01 40

问题 (2003年)某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打．都将克服土层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，是k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a m，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0＜r＜1)．问
汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?

选项

答案设第n次击打后，桩被打进地下x_n，第n次击打时，汽锤所作的功为W_n(n=1，2，3，…)．由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力大小为kx，所以 [*] 由题设汽锤每次击打桩时所作的功与前次击打所作功之比为常数r知， W₂=rW₁， W₃=rW₂=r²W₁ 则前三次击打所作功总和为 W₁+W₂+W₃=W₁+rW₁+r²W₁=(1+r+r²)[*]ka² 又 [*] 从而有 [*] 则 [*] 即汽锤击打3次后，可将桩打进地下[*]

解析

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考研数学一

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