2. 考研
  3. 若f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明： [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx (Cauchy-Schwarz不等式)；

若f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明： [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx (Cauchy-Schwarz不等式)；

admin2022-06-04  64
问题 若f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：
[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx (Cauchy-Schwarz不等式)；
选项
答案作辅助函数 F(t)=∫atf2(x)dx∫atg2(x)dx-[∫atf(x)g(x)dx]2 那么 F’(t)=f2(t)∫atg2(x)dx+g2(t)∫atf2(x)dx-2f(t)g(t)∫atf(x)g(x)dx =∫at[f(t)g(x)-f(x)g(t)]2dx≥0 即，当t≥a，F’(t)≥0，F(t)单调递增，所以F(B)≥F(A)=0，从而 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx
解析
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考研数学三

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