2. 考研
  3. (2005年)设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(x)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明：对任何a∈[0，1]，有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．

(2005年)设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(x)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明：对任何a∈[0，1]，有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．

admin2018-07-24  56
问题 (2005年)设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(x)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明：对任何a∈[0，1]，有
    ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．
选项
答案设 F(x)=∫0xg(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(x)g(1)，x∈[0，1] 则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且 F’(x)=g(x)f’(x)一f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)] 由于x∈[0，1]时，f’(x)≥0，g’(0)≥0，因此F’(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减. 注意到 F(1)=∫01g(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(1)g(1) 而 ∫01g(t)f’(t)dt=∫01g(t)df(t) =g(t)f(t)｜01－∫01f(t)g’(t)dt =f(1)g(1)一∫01f(t)g’(t)dt 故F(1)=0． 因此x∈[0，1]时，F(x)≥0，由此可得对任何a∈[0，1]有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)dx
解析
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考研数学三

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