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(2005年)设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(x)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任何a∈[0,1],有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1).
(2005年)设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(x)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任何a∈[0,1],有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1).
admin
2018-07-24
53
问题
(2005年)设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(x)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任何a∈[0,1],有
∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1).
选项
答案
设 F(x)=∫
0
x
g(t)f’(t)dt+∫
0
1
f(t)g’(t)dt一f(x)g(1),x∈[0,1] 则F(x)在[0,1]上的导数连续,并且 F’(x)=g(x)f’(x)一f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)] 由于x∈[0,1]时,f’(x)≥0,g’(0)≥0,因此F’(x)≤0,即F(x)在[0,1]上单调递减. 注意到 F(1)=∫
0
1
g(t)f’(t)dt+∫
0
1
f(t)g’(t)dt一f(1)g(1) 而 ∫
0
1
g(t)f’(t)dt=∫
0
1
g(t)df(t) =g(t)f(t)|
0
1
-∫
0
1
f(t)g’(t)dt =f(1)g(1)一∫
0
1
f(t)g’(t)dt 故F(1)=0. 因此x∈[0,1]时,F(x)≥0,由此可得对任何a∈[0,1]有 ∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)dx
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/VQW4777K
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考研数学三
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