2. 考研
  3. 已知函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内f′(x)存在．设连接A(a，f(a))，B(b，f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于点C(c，f(c))，且a＜c＜b．试证：在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使f″(ξ)=0．

已知函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内f′(x)存在．设连接A(a，f(a))，B(b，f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于点C(c，f(c))，且a＜c＜b．试证：在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使f″(ξ)=0．

admin2016-11-03  57
问题 已知函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内f′(x)存在．设连接A(a，f(a))，B(b，f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于点C(c，f(c))，且a＜c＜b．试证：在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使f″(ξ)=0．
选项
答案直线AB的方程是 y=[*](x一a)+f(a)． 引进辅助函数 F(x)=f(x)一[[*](x一a)+f(a)]． 它的几何意义是连接A、B两点的直线与曲线f(x)之差．由题设知在A点、B点及C点处这两条线相交，自然有 F(a)=F(b)=F(c)=0， 也就是说在这三点处两函数的函数值相同． 由已知条件F(a)=F(c)=F(b)=0知，函数F(x)在区间[a，c]和[c，b]上满足罗尔定理．因此，在区间(a，c)内至少存在一点ξ1，使得F′(ξ1)=0；在区间(c，b)内至少存在一点ξ2，使得F′(ξ2)=0． 因a＜ξ1＜c＜ξ2＜b，且F″(x)=f″(x)在(a，b)内存在，故F′(x)在区间[ξ1，ξ2]上满足罗尔定理条件．于是，在区间(ξ1，ξ2)内至少存在一点ξ，显然ξ也在区间(a，b)内，使得 F″(ξ)=f″(ξ)=0．
解析 利用曲线f(x)与直线AB的方程之差作一辅助函数F(x)，由题设知这两条线有三个交点，因而F(x)有三个零点．对F(x)两次使用罗尔定理，在此基础上再对F′(x)使用一次罗尔定理，则存在ξ∈(a，b)，使F″(ξ)=0．
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考研数学一

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