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  3. 求函数f(x，y)＝xy－－y在由抛物线y＝4－x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。

求函数f(x，y)＝xy－－y在由抛物线y＝4－x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。

admin2019-12-06  51
问题 求函数f(x，y)＝xy－－y在由抛物线y＝4－x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
选项
答案区域D如图所示。 [*] (1)边界L1：y＝0(0≤x≤2)，此时f(x，0)＝[*]， 函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(2，0)＝[*] 边界L2：x＝0(0≤y≤4)，则f(0，y)＝﹣y，函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(0，4)＝﹣4。 边界L3：y＝4－x2(x≥0)， 则f(x，y)＝xy－[*]－y＝x(4－x2)－[*]－(4－x2)， 令f’(x)＝﹣3x2＋2x＋[*]＝0， 解得x＝[*](舍去)，x＝[*]，又 f’’(x)＝﹣6x＋2，f’’(4/3)﹤0， 故该函数在此边界的最大值为[*]。 (2)区域D内部，f(x，y)＝xy－[*]－y，则 [*] 解得x＝1，y＝4/3, fxx’’(x，y)＝0， fxy’’(x，y)＝1， fyy’’(x，y)＝0， 故AC－B2﹤0，函数在区域D内部不取极值。 综上所述，函数在区域D上的最大值为f(0，0)＝0；最小值为f(0，4)＝﹣4。
解析
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考研数学二

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