已知A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3． ① 求A的特征值． ② 求A的特征向量． ③ 求A*一6E的秩．

admin2022-04-08 58

问题已知A是3阶矩阵，α₁,α₂,α₃是线性无关的3维列向量组，满足Aα₁=一α₁一3α₂—3α₃，Aα₂=4α₁+4α₂+α₃，Aα₃=一2α₁+3α₃．
①  求A的特征值．
②  求A的特征向量．
③  求A^*一6E的秩．

选项

答案① 记P=(α₁,α₂,α₃)，因为α₁,α₂,α₃是线性无关，所以P是可逆矩阵．AP=(Aα₁，Aα₂，Aα₃)=(一α₁一3α₂—3α₃，4α₁+4α₂+α₃，一2α₁+3α₃)[*] 得A的特征值为1，2，3．② 思路：先求B的特征向量，用P乘之得到A的特征向量．(如果Bη=λη，则P^一1APη=λη，即A(Pη)=λ(Pη)．)对于特征值1： [*] B的属于特征值1的特征向量(即(B一E)x=0的非零解)为c(1，1，1)^T，c≠0．则A的属于特征值1的特征向量为c(α₁+α₂+α₃)^T，c≠0．对于特征值2： [*] B的属于特征值2的特征向量(即(B一2g)x=0的非零解)为c(2，3，3)^T，c≠0．则A的属于特征值2的特征向量为c(2α₁+3α₂+3α₃)^T，c≠0。对于特征值3： [*] B的属于特征值3的特征向量(即(B一3g)x=0的非零解)为c(1，3，4)^T，c≠0．则A的属于特征值3的特征向量为c(α₁+3α₂+4α₃)^T，c≠0． ③ 由A的特征值为1，2，3，｜A｜=6．于是A^*的特征值为6，3，2，A^*一6E的特征值为0，一3，一4． [*]

解析

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考研数学二

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