已知A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3． ① 求A的特征值． ② 求A的特征向量． ③ 求A*一6E的秩．

admin2022-04-08 63

问题已知A是3阶矩阵，α₁,α₂,α₃是线性无关的3维列向量组，满足Aα₁=一α₁一3α₂—3α₃，Aα₂=4α₁+4α₂+α₃，Aα₃=一2α₁+3α₃．
①  求A的特征值．
②  求A的特征向量．
③  求A^*一6E的秩．

选项

答案① 记P=(α₁,α₂,α₃)，因为α₁,α₂,α₃是线性无关，所以P是可逆矩阵．AP=(Aα₁，Aα₂，Aα₃)=(一α₁一3α₂—3α₃，4α₁+4α₂+α₃，一2α₁+3α₃)[*] 得A的特征值为1，2，3．② 思路：先求B的特征向量，用P乘之得到A的特征向量．(如果Bη=λη，则P^一1APη=λη，即A(Pη)=λ(Pη)．)对于特征值1： [*] B的属于特征值1的特征向量(即(B一E)x=0的非零解)为c(1，1，1)^T，c≠0．则A的属于特征值1的特征向量为c(α₁+α₂+α₃)^T，c≠0．对于特征值2： [*] B的属于特征值2的特征向量(即(B一2g)x=0的非零解)为c(2，3，3)^T，c≠0．则A的属于特征值2的特征向量为c(2α₁+3α₂+3α₃)^T，c≠0。对于特征值3： [*] B的属于特征值3的特征向量(即(B一3g)x=0的非零解)为c(1，3，4)^T，c≠0．则A的属于特征值3的特征向量为c(α₁+3α₂+4α₃)^T，c≠0． ③ 由A的特征值为1，2，3，｜A｜=6．于是A^*的特征值为6，3，2，A^*一6E的特征值为0，一3，一4． [*]

解析

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考研数学二

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已知A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3． ① 求A的特征值． ② 求A的特征向量． ③ 求A*一6E的秩．

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设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX＝b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是()．

设f(x)在(一∞，+∞)内可导，且对任意x1，x2，当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则()

设A=(α1,α2……αn)，B=(β1β2……βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)。记向量组(I)α1,α2……αn，向量组(Ⅱ)β1β2……βn，向量组(Ⅲ)γ1，γ2，…，γn。已知向量组(Ⅲ)线性相关，则有()

设函数f(x)在x=0处连续，且=1，则()

函数f(x)=在x=π处的()

设f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是()

设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则()

设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()

下列广义积分发散的是()．

设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t—sint，y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)。(Ⅰ)求证：由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x)，并求它的定义域；(Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕)，轴旋转一周所成旋转体的体积V。

虚证不寐的病理因素主要是

铝瓷挤压成形技术中，将铝瓷压铸成形的温度是

患者25岁，北京某医院急诊室护士。2003年4月初在救治不明原因肺炎患者后3日出现发热，体温38.4℃，周身酸痛，化验血白细胞4.5×109/L。对患者的处理下列哪项是正确的(　　)

[2009年，第9题]若∫f(x)dx=F(x)+C，则等于()。(式中C为任意常数)

一般中、小企业实施会计电算化的合理做法是()。

某公司实行了扩张的企业战略，计划招聘员工120名，但是公司高层犹豫是采用内招聘还是外部招聘。根据以上资料，回答下列问题：内部招聘在()有效。

下列有关涉及职业道德的表述中，恰当的有()。

2000年8月24日，国务院发布了新修订的《国家行政机关公文处理办法》(以下简称新《办法》)，对公文种类、公文格式、行文规则、发文办理、收文办理、公文归档、公文管理做出了规定。下列关于行文规则的叙述正确的是()。

已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是________。

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