设A=(α1,α2……αn),B=(β1β2……βn),AB=(γ1,γ2,…,γn)。记向量组(I)α1,α2……αn,向量组(Ⅱ)β1β2……βn,向量组(Ⅲ)γ1,γ2,…,γn。已知向量组(Ⅲ)线性相关,则有( )

admin2020-03-01  52

问题 设A=(α12……αn),B=(β1β2……βn),AB=(γ1,γ2,…,γn)。记向量组(I)α12……αn,向量组(Ⅱ)β1β2……βn,向量组(Ⅲ)γ1,γ2,…,γn。已知向量组(Ⅲ)线性相关,则有(    )

选项 A、向量组(I)、(Ⅱ)均线性相关。
B、向量组(I)、(Ⅱ)中至少有一个线性相关。
C、向量组(I)一定线性相关。
D、向量组(Ⅱ)一定线性相关。

答案B

解析 向量组(Ⅲ)线性相关,也即r(AB)<n,可知矩阵A,B中至少有一个不是满秩的。因为若A,B均满秩,则矩阵AB也满秩,此时向量组(Ⅲ)线性无关,这与题设矛盾。所以向量组(I)、(Ⅱ)中至少有一个是线性相关的。故选B。
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