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求下列积分: (Ⅰ)设f(x)=∫1xdy,求∫01xf(x)dx; (Ⅱ)设函数f(x)在[0,1]连续且∫01f(x)dx=A,求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy.
求下列积分: (Ⅰ)设f(x)=∫1xdy,求∫01xf(x)dx; (Ⅱ)设函数f(x)在[0,1]连续且∫01f(x)dx=A,求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy.
admin
2018-11-21
30
问题
求下列积分:
(Ⅰ)设f(x)=∫
1
x
dy,求∫
0
1
xf(x)dx;
(Ⅱ)设函数f(x)在[0,1]连续且∫
0
1
f(x)dx=A,求∫
0
1
dx∫
x
1
f(x)f(y)dy.
选项
答案
(Ⅰ)[*] (Ⅱ)令Ф(x)=∫
x
1
f(y)dy,则Ф’(x)=一f(x),于是 ∫
0
1
dx∫
x
1
f(x)f(y)dy=∫
0
1
[∫
x
1
f(y)dy]f(x)dx =一∫
0
1
Ф(x)dФ(x)=一[*]Ф
2
(x)|
0
1
=[*]A
2
.
解析
该例中的两个小题均是求形如∫
a
b
[f(x)∫
a
x
g(y)dy]dx的积分,它可看作区域D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤x}上一个二重积分的累次积分,有时通过交换积分次序而求得它的值.作为定积分,若f(x)的原函数易求得F’(x)=f(x),则可由分部积分法得
∫
a
b
[f(x)∫
a
x
g(y)dy]dx=∫
a
b
[∫
a
x
g(y)dy]dF(x)=[F(x)∫
a
x
g(y)dy]|
a
b
一∫
a
b
F(x)g(x)dx.
若右端易求,则可求得左端的值.
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