设y=f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0,试证: 对于(一1,1)内的任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立;

admin2015-09-10  25

问题 设y=f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0,试证:
对于(一1,1)内的任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立;

选项

答案任给非零x∈(一1,1),由拉格朗日中值定理得 f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x) (0<θ(x)<1) 因为f"(x)在(一1,1)内连续且f"(x)≠0,所以f"(x)在(一1,1)内不变号,不妨设f"(x)>0,则f’(x)在(一1,1)内严格单增,故θ(x)唯一.

解析
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