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已知方程组 的一个基础解系为(b11,b12,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T。试写出线性方程组 的通解,并说明理由。[img][/img]
已知方程组 的一个基础解系为(b11,b12,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T。试写出线性方程组 的通解,并说明理由。[img][/img]
admin
2020-03-16
57
问题
已知方程组
的一个基础解系为(b
11
,b
12
,…,b
1,2n
)
T
,(b
21
,b
22
,…,b
2,2n
)
T
,…,(b
n1
,b
n2
,…,b
n,2n
)
T
。试写出线性方程组
的通解,并说明理由。[img][/img]
选项
答案
由题意可知,线性方程组(2)的通解为 y=c
1
(a
11
,a
12
,…,a
1,2n
)
T
+c
2
(a
11
,a
22
,…,a
2,2n
)
T
+…+c
n
(a
n1
,a
n2
,…,a
n,2n
)
T
, 其中c
1
,c
2
,…,c
n
是任意的常数。 这是因为: 设方程组(1)和(2)的系数矩阵分别为A,B,则根据题意可知AB
T
=O,因此 BA
T
=(AB
T
)
T
=O, 可见A的n个行向量的转置为(2)的n个解向量。 由于B的秩为n,所以(2)的解空间的维数为2n—r(B)=2n—n=n,又因为A的秩等于2n与(1)的解空间的维数的差,即n,因此A的n个行向量是线性无关的,从而它们的转置向量构成(2)的一个基础解系。
解析
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