[2014年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12－x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围为_________．

admin2021-01-25 28

问题 [2014年] 设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²－x₂²+2ax₁x₃+4x₂x₃的负惯性指数是1，则a的取值范围为_________．

选项

答案—2≤a≤2

解析解一  用配方法将f(x₁，x₂，x₃)化为
            f(x₁，x₂，x₃)=(x₁+ax₃)²－(x₂－2x₃)²+(4－a²)x₃²．
由负惯性指数为1，得到4－a²≥0，即－2≤a≤2．
解二  易求得二次型厂的矩阵为

设其三个特征值分别为λ₁，λ₂，λ₃，则λ₁λ₂λ₃=|A|=a²－4．由题设知二次型f的负惯性指数为1，所以A有且仅有一个特征值为负值．不妨设为λ₁＜0，则λ₂≥0，λ₃≥0，从而有|A|=a²－4≤0，即－2≤a≤2为所求的a的取值范围．

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