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[2014年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12－x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围为_________．
[2014年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12－x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围为_________．
admin
2021-01-25
26
问题
[2014年] 设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
－x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
的负惯性指数是1，则a的取值范围为_________．
选项
答案
—2≤a≤2
解析
解一 用配方法将f(x
1
，x
2
，x
3
)化为
f(x
1
，x
2
，x
3
)=(x
1
+ax
3
)
2
－(x
2
－2x
3
)
2
+(4－a
2
)x
3
2
．
由负惯性指数为1，得到4－a
2
≥0，即－2≤a≤2．
解二 易求得二次型厂的矩阵为
设其三个特征值分别为λ
1
，λ
2
，λ
3
，则λ
1
λ
2
λ
3
=|A|=a
2
－4．由题设知二次型f的负惯性指数为1，所以A有且仅有一个特征值为负值．不妨设为λ
1
＜0，则λ
2
≥0，λ
3
≥0，从而有|A|=a
2
－4≤0，即－2≤a≤2为所求的a的取值范围．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Vtx4777K
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考研数学三
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