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  3. [2014年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12－x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围为_________．

[2014年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12－x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围为_________．

admin2021-01-25  39
问题 [2014年]  设二次型f(x1，x2，x3)=x12－x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围为_________．
选项
答案—2≤a≤2
解析 解一  用配方法将f(x1，x2，x3)化为
               f(x1，x2，x3)=(x1+ax3)2－(x2－2x3)2+(4－a2)x32．
    由负惯性指数为1，得到4－a2≥0，即－2≤a≤2．
    解二  易求得二次型厂的矩阵为设其三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1λ2λ3=|A|=a2－4．由题设知二次型f的负惯性指数为1，所以A有且仅有一个特征值为负值．不妨设为λ1＜0，则λ2≥0，λ3≥0，从而有|A|=a2－4≤0，即－2≤a≤2为所求的a的取值范围．
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考研数学三

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