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[2014年] 设二次型f(x1,x2,x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围为_________.
[2014年] 设二次型f(x1,x2,x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围为_________.
admin
2021-01-25
31
问题
[2014年] 设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
-x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
的负惯性指数是1,则a的取值范围为_________.
选项
答案
—2≤a≤2
解析
解一 用配方法将f(x
1
,x
2
,x
3
)化为
f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
+ax
3
)
2
-(x
2
-2x
3
)
2
+(4-a
2
)x
3
2
.
由负惯性指数为1,得到4-a
2
≥0,即-2≤a≤2.
解二 易求得二次型厂的矩阵为
设其三个特征值分别为λ
1
,λ
2
,λ
3
,则λ
1
λ
2
λ
3
=|A|=a
2
-4.由题设知二次型f的负惯性指数为1,所以A有且仅有一个特征值为负值.不妨设为λ
1
<0,则λ
2
≥0,λ
3
≥0,从而有|A|=a
2
-4≤0,即-2≤a≤2为所求的a的取值范围.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Vtx4777K
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考研数学三
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